חפיפת משולשים ותכונות המשולש לכיתה ח׳
בנושא חפיפת משולשים ותכונות המשולש בכיתה ח׳ לומדים משפטי החפיפה, צלעות וזוויות מתאימות, אי־שוויון המשולש, התיכון במשולש, הזווית החיצונית, המשולש שווה השוקיים וזוויות שוות מול צלעות שוות. שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שהם מתלכדים. כדי לדעת שהם חופפים מספיקים שלושה נתונים מתאימים: שלוש צלעות (צ.צ.צ), שתי צלעות והזווית שביניהן (צ.ז.צ), או צלע ושתי הזוויות שצמודות לה (ז.צ.ז).
במשולשים חופפים, הצלעות המתאימות שוות והזוויות המתאימות שוות. סדר האותיות בשם המשולשים מראה מה מתאים למה. בכל משולש, סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. התיכון מחבר קודקוד לאמצע הצלע שמולו, ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה. הזווית החיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, והגובה לבסיס חוצה אותו. וגם להפך: אם שתי זוויות במשולש שוות, הצלעות שמולן שוות.
טיפ: שימו לב לסדר האותיות בחפיפה: האות הראשונה מתאימה לאות הראשונה, השנייה לשנייה והשלישית לשלישית.
מה לומדים בנושא
משפטי החפיפה
לדוגמה: בשני המשולשים מסומנים החלקים השווים: BC = EF , AC = DF , AB = DE . לפי איזה משפט המשולשים חופפים?
- ז.צ.ז
- אין מספיק נתונים
- צ.ז.צ
- צ.צ.צ
תשובה ופתרון
התשובה: צ.צ.צ
שלוש הצלעות של משולש אחד שוות לשלוש הצלעות של המשולש השני. לכן המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.
צלעות וזוויות מתאימות
לדוגמה: המשולשים חופפים: ΔABC ≅ ΔFED . איזו צלע שווה לצלע AB ?
- DF
- EF
- DE
תשובה ופתרון
התשובה: אי אף
בחפיפה, אותיות שנמצאות באותו מקום בשמות המשולשים מתאימות זו לזו. AB = FE , כלומר AB = EF . הצלע היא EF .
אי־שוויון המשולש
לדוגמה: האם קיים משולש עם צלעות באורך 4, 20 ו־4 ס״מ?
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: לא
בודקים את שתי הצלעות הקצרות מול הארוכה: 4 + 4 = 8 8 קטן מ־20, ולכן אין משולש כזה. התשובה: לא.
התיכון במשולש
לדוגמה: במשולש ABC הקטע AM הוא תיכון לצלע BC , ו־ BC = 6 ס״מ. מה אורך BM ?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
התיכון מגיע לאמצע הצלע, ולכן BM = MC : BM = 6 : 2 = 3 האורך הוא 3 ס״מ.
הזווית החיצונית
לדוגמה: במשולש ABC הצלע BC נמשכת מעבר לקודקוד C עד הנקודה D . ∢A = 30° , ∢B = 100° . מה גודל הזווית החיצונית ∢ACD ?
תשובה ופתרון
התשובה: 130 °
זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. ∢ACD = 30° + 100° = 130°
המשולש שווה השוקיים
לדוגמה: במשולש שווה שוקיים ABC השוקיים הן AB = AC , וזווית הראש היא ∢A = 160° . מה גודל זווית הבסיס ∢B ?
תשובה ופתרון
התשובה: 10 °
שתי זוויות הבסיס שוות, וביחד עם זווית הראש הן 180°: ∢B = (180° − 160°) : 2 = 10°
זוויות שוות מול צלעות שוות
לדוגמה: במשולש ABC הזוויות הן ∢A = 85° , ∢B = 85° . האם המשולש שווה שוקיים?
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: כן
הזווית השלישית: ∢C = 180° − 85° − 85° = 10° יש שתי זוויות שוות: ∢A = ∢B . משולש עם שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים. התשובה: כן.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת חפיפה בכתב · משפטי חפיפה מיוחדים למשולש ישר זווית · הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).