# חפיפת משולשים ותכונות המשולש לכיתה ח׳

> חפיפת משולשים ותכונות המשולש לכיתה ח׳: משפטי החפיפה, צלעות וזוויות מתאימות, אי־שוויון המשולש ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא חפיפת משולשים ותכונות המשולש בכיתה ח׳ לומדים משפטי החפיפה, צלעות וזוויות מתאימות, אי־שוויון המשולש, התיכון במשולש, הזווית החיצונית, המשולש שווה השוקיים וזוויות שוות מול צלעות שוות.

שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שהם מתלכדים. כדי לדעת שהם חופפים מספיקים שלושה נתונים מתאימים: שלוש צלעות (צ.צ.צ), שתי צלעות והזווית שביניהן (צ.ז.צ), או צלע ושתי הזוויות שצמודות לה (ז.צ.ז).

במשולשים חופפים, הצלעות המתאימות שוות והזוויות המתאימות שוות. סדר האותיות בשם המשולשים מראה מה מתאים למה.

בכל משולש, סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. התיכון מחבר קודקוד לאמצע הצלע שמולו, ומחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה.

הזווית החיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, והגובה לבסיס חוצה אותו. וגם להפך: אם שתי זוויות במשולש שוות, הצלעות שמולן שוות.

**טיפ:** שימו לב לסדר האותיות בחפיפה: האות הראשונה מתאימה לאות הראשונה, השנייה לשנייה והשלישית לשלישית.

## מה לומדים בנושא

### משפטי החפיפה

- דוגמה: (שני משולשים. בכל משולש מסומנים שלושה חלקים, וכל חלק מסומן שווה לחלק המתאים במשולש השני.) בשני המשולשים מסומנים החלקים השווים: BC = EF , AC = DF , AB = DE . לפי איזה משפט המשולשים חופפים?
- אפשרויות: ז.צ.ז · אין מספיק נתונים · צ.ז.צ · צ.צ.צ
- תשובה: צ.צ.צ
- פתרון: שלוש הצלעות של משולש אחד שוות לשלוש הצלעות של המשולש השני. לכן המשולשים חופפים לפי צ.צ.צ.

### צלעות וזוויות מתאימות

- דוגמה: המשולשים חופפים: ΔABC ≅ ΔFED . איזו צלע שווה לצלע AB ?
- אפשרויות: די אף DF · אי אף EF · די אי DE
- תשובה: אי אף
- פתרון: בחפיפה, אותיות שנמצאות באותו מקום בשמות המשולשים מתאימות זו לזו. AB = FE , כלומר AB = EF . הצלע היא EF .

### אי־שוויון המשולש

- דוגמה: האם קיים משולש עם צלעות באורך 4, 20 ו־4 ס״מ?
- אפשרויות: כן · לא
- תשובה: לא
- פתרון: בודקים את שתי הצלעות הקצרות מול הארוכה: 4 + 4 = 8 8 קטן מ־20, ולכן אין משולש כזה. התשובה: לא.

### התיכון במשולש

- דוגמה: (משולש, והקטע מהקודקוד העליון לאמצע הצלע שמולו. שני חלקי הצלע מסומנים כשווים.) במשולש ABC הקטע AM הוא תיכון לצלע BC , ו־ BC = 6 ס״מ. מה אורך BM ?
- תשובה: 3 ס״מ
- פתרון: התיכון מגיע לאמצע הצלע, ולכן BM = MC : BM = 6 : 2 = 3 האורך הוא 3 ס״מ.

### הזווית החיצונית

- דוגמה: (משולש שאחת הצלעות שלו נמשכת מעבר לקודקוד עד נקודה חדשה, והזווית החיצונית שנוצרת מסומנת בקשת.) במשולש ABC הצלע BC נמשכת מעבר לקודקוד C עד הנקודה D . ∢A = 30° , ∢B = 100° . מה גודל הזווית החיצונית ∢ACD ?
- תשובה: 130 °
- פתרון: זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. ∢ACD = 30° + 100° = 130°

### המשולש שווה השוקיים

- דוגמה: (משולש שווה שוקיים. השוקיים מסומנות כשוות.) במשולש שווה שוקיים ABC השוקיים הן AB = AC , וזווית הראש היא ∢A = 160° . מה גודל זווית הבסיס ∢B ?
- תשובה: 10 °
- פתרון: שתי זוויות הבסיס שוות, וביחד עם זווית הראש הן 180°: ∢B = (180° − 160°) : 2 = 10°

### זוויות שוות מול צלעות שוות

- דוגמה: (משולש, ושמות הקודקודים שלו.) במשולש ABC הזוויות הן ∢A = 85° , ∢B = 85° . האם המשולש שווה שוקיים?
- אפשרויות: כן · לא
- תשובה: כן
- פתרון: הזווית השלישית: ∢C = 180° − 85° − 85° = 10° יש שתי זוויות שוות: ∢A = ∢B . משולש עם שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים. התשובה: כן.

## עוד לא באתר

- הוכחת חפיפה בכתב
- משפטי חפיפה מיוחדים למשולש ישר זווית
- הוכחה שמשולש הוא שווה שוקיים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/) · [כל הנושאים של כיתה ח׳](https://kixplo.com/math/grade-8/)