מערכות משוואות לכיתה ח׳
בנושא מערכות משוואות בכיתה ח׳ לומדים האם זה פתרון של המערכת?, פתרון מערכת: הצבה והשוואת מקדמים, הפתרון בגרף: איפה הישרים נפגשים ובעיות מילוליות עם מערכת משוואות. מערכת משוואות היא שתי משוואות עם שני נעלמים. הפתרון שלה הוא זוג מספרים שמקיים את שתי המשוואות יחד.
בשיטת ההצבה מוצאים מאחת המשוואות למה שווה נעלם אחד, ומציבים את הביטוי במשוואה השנייה. נשארת משוואה עם נעלם אחד. בשיטת השוואת מקדמים כופלים משוואה במספר, כך שלאחד הנעלמים יהיו בשתי המשוואות מקדמים שווים או נגדיים. מחסירים או מחברים את המשוואות, והנעלם הזה מתבטל. בגרף, כל משוואה היא ישר, והפתרון הוא הנקודה שבה הישרים נפגשים. לישרים מקבילים אין נקודה משותפת, ולמערכת אין פתרון. אם שתי המשוואות מתארות את אותו ישר, למערכת יש אינסוף פתרונות.
טיפ: בסוף, הציבו את הפתרון בשתי המשוואות. אם שתיהן מתקיימות, הפתרון נכון.
מה לומדים בנושא
האם זה פתרון של המערכת?
לדוגמה: האם (−4, 5) הוא פתרון של המערכת? −2x + 3y = 23 −x − 3y = −11
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: כן
מציבים במשוואה הראשונה: −2 · (−4) + 3 · 5 = 23 המשוואה מתקיימת. מציבים במשוואה השנייה: −(−4) − 3 · 5 = −11 המשוואה מתקיימת. שתי המשוואות מתקיימות, ולכן הזוג הוא פתרון של המערכת. התשובה: כן.
פתרון מערכת: הצבה והשוואת מקדמים
לדוגמה: פתרו את המערכת: y = −2x − 4 3x − y = −21
תשובה ופתרון
התשובה: (−5, 6)
מציבים את −2x − 4 במקום y במשוואה השנייה: 3x − (−2x − 4) = −21 3x + 2x + 4 = −21 5x = −25 x = −25 : 5 = −5 מציבים x = −5 במשוואה הראשונה: y = −2 · (−5) − 4 = 6 הפתרון של המערכת: (−5, 6)
הפתרון בגרף: איפה הישרים נפגשים
לדוגמה: קראו מהגרף את הפתרון של המערכת: y = −2x − 2 y = x + 7
תשובה ופתרון
התשובה: (−3, 4)
הישרים נפגשים בנקודה (−3, 4) . בודקים בשתי המשוואות: y = −2 · (−3) − 2 = 4 y = −3 + 7 = 4 הפתרון של המערכת: (−3, 4)
בעיות מילוליות עם מערכת משוואות
לדוגמה: סכום שני מספרים הוא 34, וההפרש ביניהם הוא 2. מה המספר הגדול?
תשובה ופתרון
התשובה: 18
נסמן את המספר הגדול x ואת המספר הקטן y . המערכת: x + y = 34 x − y = 2 מחברים את שתי המשוואות: 2x = 36 x = 18 המספר הגדול הוא 18.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: מערכת משוואות ממעלה שנייה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).