משפט פיתגורס במרחב לכיתה ח׳
בנושא משפט פיתגורס במרחב בכיתה ח׳ לומדים האלכסון של פאה ושל תיבה, האם המקל ייכנס לתיבה? וגובה הפירמידה והחתך האלכסוני. בתוך גוף יש משולשים ישרי זווית, ובכל אחד מהם אפשר להשתמש במשפט פיתגורס.
האלכסון של פאה הוא היתר במשולש ששני הניצבים שלו הם מקצועות הפאה. האלכסון של התיבה הוא היתר במשולש שניצב אחד שלו הוא האלכסון של הבסיס, והניצב השני הוא הגובה. בקיצור: האלכסון בריבוע שווה לסכום הריבועים של האורך, של הרוחב ושל הגובה. המקל הארוך ביותר שנכנס לתיבה הוא באורך האלכסון שלה. בפירמידה ריבועית, הגובה, חצי צלע הבסיס והגובה של הפאה הצדדית יוצרים משולש ישר זווית.
טיפ: חפשו את המשולש ישר הזווית ומצאו בו את היתר: הוא הצלע שמול הזווית הישרה.
מה לומדים בנושא
האלכסון של פאה ושל תיבה
לדוגמה: מידות התיבה הן 6, 8 ו־12 ס״מ. מה אורך האלכסון של הפאה התחתונה, שמידותיה 6 על 8?
תשובה ופתרון
התשובה: 10 ס״מ
6² + 8² = 36 + 64 = 100 √100 = 10 אורך האלכסון 10 ס״מ.
האם המקל ייכנס לתיבה?
לדוגמה: מידות התיבה הן 9, 11 ו־10 ס״מ. האם מקל ישר באורך 12 ס״מ ייכנס לתוך התיבה, כשהיא סגורה?
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: כן
האלכסון בריבוע: 9² + 11² + 10² = 81 + 121 + 100 = 302 המקל בריבוע: 12² = 144 לכן 144 < 302 המקל קצר מהאלכסון, ולכן הוא נכנס באלכסון. התשובה: כן.
גובה הפירמידה והחתך האלכסוני
לדוגמה: בפירמידה ריבועית אורך צלע הבסיס 16 ס״מ, והגובה של כל פאה צדדית 10 ס״מ. מה גובה הפירמידה?
תשובה ופתרון
התשובה: 6 ס״מ
חצי צלע הבסיס הוא 8 ס״מ. הגובה בריבוע: 10² − 8² = 100 − 64 = 36 √36 = 6 גובה הפירמידה 6 ס״מ.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: פיתגורס בגליל ובחרוט · הדרך הקצרה ביותר על פריסת תיבה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).