פונקציות ופונקציה ליניארית לכיתה ח׳
בנושא פונקציות ופונקציה ליניארית בכיתה ח׳ לומדים קריאת גרף, טבלה וכלל של פונקציה, עלייה וירידה של פונקציה, מהי פונקציה, נקודה על גרף של ישר, קצב שינוי, שיפוע של ישר, כלל של פונקציה קווית, נקודות חיתוך עם הצירים וישרים מקבילים. פונקציה היא כלל שנותן לכל מספר שמכניסים מספר אחד בלבד שיוצא. אפשר לתאר את אותה פונקציה בשלוש דרכים: בטבלה, בגרף ובכלל אלגברי.
בטבלה, כל שורה היא זוג: הערך שמכניסים והערך שיוצא. בגרף, כל זוג כזה הוא נקודה במערכת הצירים. כדי לבדוק אם נקודה נמצאת על הגרף, מציבים בכלל את המספר הראשון שלה ובודקים אם יוצא המספר השני. קוראים גרף משמאל לימין. בקטע שבו הגרף מטפס למעלה הפונקציה עולה, ובקטע שבו הוא יורד למטה הפונקציה יורדת. גרף של פונקציה קווית הוא קו ישר. אם קו אנכי פוגש עקומה בשתי נקודות, העקומה אינה גרף של פונקציה: לאותו מספר יש שני ערכים. בפונקציה קווית הקצב קבוע: בכל פעם שהמספר שמכניסים גדל באותה מידה, הערך שיוצא משתנה באותה מידה. הקצב הוא השינוי בערך שיוצא חלקי השינוי במספר שמכניסים. בכלל של ישר, המספר שכופל את המשתנה הוא השיפוע, והמספר שמוסיפים הוא הנקודה שבה הישר חותך את הציר האנכי. לישרים מקבילים יש אותו שיפוע.
טיפ: בטבלה של פונקציה קווית, בדקו בכמה גדל הערך שיוצא כשהמספר שמכניסים גדל ב־1.
מה לומדים בנושא
קריאת גרף
לדוגמה: שירה יצאה מהבית בדרך לבית הספר. הגרף מראה כמה מטרים היא הייתה רחוקה מהבית בכל דקה.
כמה מטרים מהבית הייתה שירה אחרי 9 דקות?תשובה ופתרון
התשובה: 500 מ׳
מהדקה 9 בציר האופקי עולים עד הגרף, ומשם הולכים אל הציר האנכי. מגיעים ל־500. שירה הייתה 500 מטרים מהבית.
טבלה וכלל של פונקציה
לדוגמה: הטבלה מתארת פונקציה מהצורה y = ax . השלימו את הערך החסר בטבלה.
| x | y |
|---|---|
| 3 | 9 |
| 6 | ? |
| 8 | 24 |
| 9 | 27 |
תשובה ופתרון
התשובה: 18
בכל שורה מלאה, y גדול פי 3 מהערך של x , למשל 3 · 3 = 9 . לכן הכלל הוא y = 3x , ובשורה החסרה: y = 3 · 6 = 18
עלייה וירידה של פונקציה
לדוגמה:
באיזה קטע הפונקציה עולה?- 2 < x < 3
- −3 < x < −1
- −5 < x < −3
- −1 < x < 2
תשובה ופתרון
התשובה: 2 עד 3
הגרף מטפס רק בקטע אחד, מהנקודה (2, −3) אל הנקודה (3, −2) . בשאר הקטעים הוא יורד. הקטע: 2 < x < 3
מהי פונקציה
לדוגמה: האם הטבלה מתארת פונקציה?
| x | y |
|---|---|
| −1 | 2 |
| 0 | −3 |
| 0 | −9 |
| 3 | 3 |
| 5 | 0 |
- לא
- כן
תשובה ופתרון
התשובה: לא
הערך x = 0 מופיע פעמיים, עם שני ערכים שונים של y : (0, −3) וגם (0, −9) . לכן הטבלה אינה מתארת פונקציה.
נקודה על גרף של ישר
לדוגמה: האם הנקודה (−3, 15) נמצאת על הגרף של y = −3x + 6 ?
- לא
- כן
תשובה ופתרון
התשובה: כן
מציבים x = −3 בכלל: y = −3 · (−3) + 6 = 15 יוצא בדיוק המספר השני של הנקודה, ולכן הנקודה נמצאת על הגרף.
קצב שינוי
לדוגמה: האם קצב השינוי של הפונקציה בטבלה אחיד?
| x | y |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 4 | 8 |
| 5 | 17 |
| 6 | 23 |
- לא
- כן
תשובה ופתרון
התשובה: לא
בכל שתי שורות סמוכות, השינוי של הערך השני מחולק בשינוי של הערך הראשון: 3 : 1 = 3 9 : 1 = 9 6 : 1 = 6 לא בכל הזוגות יוצא אותו מספר, ולכן הקצב אינו אחיד.
שיפוע של ישר
לדוגמה: מהו השיפוע של הישר?
תשובה ופתרון
התשובה: 1
מהנקודה A(−5, 0) אל הנקודה B(−2, 3) הולכים 3 צעדים ימינה ועולים 3 צעדים.
השיפוע הוא השינוי למעלה או למטה, מחולק במספר הצעדים ימינה: 3 : 3 = 1כלל של פונקציה קווית
לדוגמה: כתבו את הכלל של הפונקציה שהגרף שלה מוצג.
תשובה ופתרון
התשובה: −3x
מהנקודה (0, 0) אל הנקודה (2, −6) הולכים 2 צעדים ימינה ויורדים 6 צעדים, ולכן השיפוע הוא −3. הישר עובר בראשית הצירים, ולכן לא מוסיפים דבר: y = −3x
נקודות חיתוך עם הצירים
לדוגמה: מהי נקודת החיתוך של הישר y = −4x + 9 עם הציר האנכי?
תשובה ופתרון
התשובה: (0, 9)
מציבים x = 0 : y = −4 · 0 + 9 = 9 נקודת החיתוך: (0, 9)
ישרים מקבילים
לדוגמה: איזה ישר מקביל לישר y = −4x + 8 ?
- y = −3x + 8
- y = −8x + 8
- y = −4x − 6
- y = 4x − 6
תשובה ופתרון
התשובה: שיפוע −4, מחסירים 6
השיפוע של הישר הוא −4. רק לישר y = −4x − 6 יש אותו שיפוע, −4, ולכן הוא מקביל לו. לשאר הישרים יש שיפוע אחר.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט גרף של פונקציה לפי טבלה · נוסחת השיפוע.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).