# פונקציות ופונקציה ליניארית לכיתה ח׳

> פונקציות ופונקציה ליניארית לכיתה ח׳: קריאת גרף, טבלה וכלל של פונקציה, עלייה וירידה של פונקציה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא פונקציות ופונקציה ליניארית בכיתה ח׳ לומדים קריאת גרף, טבלה וכלל של פונקציה, עלייה וירידה של פונקציה, מהי פונקציה, נקודה על גרף של ישר, קצב שינוי, שיפוע של ישר, כלל של פונקציה קווית, נקודות חיתוך עם הצירים וישרים מקבילים.

פונקציה היא כלל שנותן לכל מספר שמכניסים מספר אחד בלבד שיוצא. אפשר לתאר את אותה פונקציה בשלוש דרכים: בטבלה, בגרף ובכלל אלגברי.

בטבלה, כל שורה היא זוג: הערך שמכניסים והערך שיוצא. בגרף, כל זוג כזה הוא נקודה במערכת הצירים. כדי לבדוק אם נקודה נמצאת על הגרף, מציבים בכלל את המספר הראשון שלה ובודקים אם יוצא המספר השני.

קוראים גרף משמאל לימין. בקטע שבו הגרף מטפס למעלה הפונקציה עולה, ובקטע שבו הוא יורד למטה הפונקציה יורדת.

גרף של פונקציה קווית הוא קו ישר. אם קו אנכי פוגש עקומה בשתי נקודות, העקומה אינה גרף של פונקציה: לאותו מספר יש שני ערכים.

בפונקציה קווית הקצב קבוע: בכל פעם שהמספר שמכניסים גדל באותה מידה, הערך שיוצא משתנה באותה מידה. הקצב הוא השינוי בערך שיוצא חלקי השינוי במספר שמכניסים.

בכלל של ישר, המספר שכופל את המשתנה הוא השיפוע, והמספר שמוסיפים הוא הנקודה שבה הישר חותך את הציר האנכי. לישרים מקבילים יש אותו שיפוע.

**טיפ:** בטבלה של פונקציה קווית, בדקו בכמה גדל הערך שיוצא כשהמספר שמכניסים גדל ב־1.

## מה לומדים בנושא

### קריאת גרף

- דוגמה: שירה יצאה מהבית בדרך לבית הספר. הגרף מראה כמה מטרים היא הייתה רחוקה מהבית בכל דקה. (גרף של המרחק של שירה מהבית לפי הזמן: קו שבור מהדקה 0 עד הדקה 10.) כמה מטרים מהבית הייתה שירה אחרי 9 דקות?
- תשובה: 500 מ׳
- פתרון: מהדקה 9 בציר האופקי עולים עד הגרף, ומשם הולכים אל הציר האנכי. מגיעים ל־500. שירה הייתה 500 מטרים מהבית.

### טבלה וכלל של פונקציה

- דוגמה: הטבלה מתארת פונקציה מהצורה y = ax . השלימו את הערך החסר בטבלה. (טבלה של ערכי הפונקציה, ובאחת השורות הערך חסר.)
- תשובה: 18
- פתרון: בכל שורה מלאה, y גדול פי 3 מהערך של x , למשל 3 · 3 = 9 . לכן הכלל הוא y = 3x , ובשורה החסרה: y = 3 · 6 = 18

### עלייה וירידה של פונקציה

- דוגמה: (גרף של פונקציה: קו שבור של 4 קטעים, מהנקודה (−5, 3) עד הנקודה (3, −2).) באיזה קטע הפונקציה עולה?
- אפשרויות: 2 עד 3 2 < x < 3 · −3 עד −1 −3 < x < −1 · −5 עד −3 −5 < x < −3 · −1 עד 2 −1 < x < 2
- תשובה: 2 עד 3
- פתרון: הגרף מטפס רק בקטע אחד, מהנקודה (2, −3) אל הנקודה (3, −2) . בשאר הקטעים הוא יורד. הקטע: 2 < x < 3

### מהי פונקציה

- דוגמה: האם הטבלה מתארת פונקציה? (טבלה של זוגות של ערכים.)
- אפשרויות: לא · כן
- תשובה: לא
- פתרון: הערך x = 0 מופיע פעמיים, עם שני ערכים שונים של y : (0, −3) וגם (0, −9) . לכן הטבלה אינה מתארת פונקציה.

### נקודה על גרף של ישר

- דוגמה: האם הנקודה (−3, 15) נמצאת על הגרף של y = −3x + 6 ?
- אפשרויות: לא · כן
- תשובה: כן
- פתרון: מציבים x = −3 בכלל: y = −3 · (−3) + 6 = 15 יוצא בדיוק המספר השני של הנקודה, ולכן הנקודה נמצאת על הגרף.

### קצב שינוי

- דוגמה: האם קצב השינוי של הפונקציה בטבלה אחיד? (טבלה של ערכי הפונקציה.)
- אפשרויות: לא · כן
- תשובה: לא
- פתרון: בכל שתי שורות סמוכות, השינוי של הערך השני מחולק בשינוי של הערך הראשון: 3 : 1 = 3 9 : 1 = 9 6 : 1 = 6 לא בכל הזוגות יוצא אותו מספר, ולכן הקצב אינו אחיד.

### שיפוע של ישר

- דוגמה: מהו השיפוע של הישר? (ישר במערכת צירים, ועליו שתי נקודות מסומנות: (−5, 0) ו־(−2, 3).)
- תשובה: 1
- פתרון: מהנקודה A(−5, 0) אל הנקודה B(−2, 3) הולכים 3 צעדים ימינה ועולים 3 צעדים. (הישר, ומדרגה מקווקוות מהנקודה הראשונה ימינה ואז אל הנקודה השנייה.) השיפוע הוא השינוי למעלה או למטה, מחולק במספר הצעדים ימינה: 3 : 3 = 1

### כלל של פונקציה קווית

- דוגמה: כתבו את הכלל של הפונקציה שהגרף שלה מוצג. (ישר במערכת צירים, ועליו שתי נקודות מסומנות: (0, 0) ו־(2, −6).)
- תשובה: −3x
- פתרון: מהנקודה (0, 0) אל הנקודה (2, −6) הולכים 2 צעדים ימינה ויורדים 6 צעדים, ולכן השיפוע הוא −3. הישר עובר בראשית הצירים, ולכן לא מוסיפים דבר: y = −3x

### נקודות חיתוך עם הצירים

- דוגמה: מהי נקודת החיתוך של הישר y = −4x + 9 עם הציר האנכי?
- תשובה: (0, 9)
- פתרון: מציבים x = 0 : y = −4 · 0 + 9 = 9 נקודת החיתוך: (0, 9)

### ישרים מקבילים

- דוגמה: איזה ישר מקביל לישר y = −4x + 8 ?
- אפשרויות: שיפוע −3, מוסיפים 8 y = −3x + 8 · שיפוע −8, מוסיפים 8 y = −8x + 8 · שיפוע −4, מחסירים 6 y = −4x − 6 · שיפוע 4, מחסירים 6 y = 4x − 6
- תשובה: שיפוע −4, מחסירים 6
- פתרון: השיפוע של הישר הוא −4. רק לישר y = −4x − 6 יש אותו שיפוע, −4, ולכן הוא מקביל לו. לשאר הישרים יש שיפוע אחר.

## עוד לא באתר

- שרטוט גרף של פונקציה לפי טבלה
- נוסחת השיפוע

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית המעבר במתמטיקה לכיתה ח׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/) · [כל הנושאים של כיתה ח׳](https://kixplo.com/math/grade-8/)