מערכת משוואות ממעלה שנייה לכיתה ט׳
בנושא מערכת משוואות ממעלה שנייה בכיתה ט׳ לומדים פרבולה וישר, שתי פרבולות והמשמעות הגרפית. במערכת שבה אחת המשוואות או שתיהן ריבועיות, הפתרון הוא זוג מספרים שמקיים את שתי המשוואות יחד. בגרף, כל פתרון הוא נקודה משותפת לשני הגרפים: נקודה שבה הפרבולה והישר, או שתי הפרבולות, נפגשים.
כדי לפתור, משווים את שני הביטויים, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד ופותרים את המשוואה הריבועית שמתקבלת. כל פתרון נותן את השיעור הראשון של נקודה, ואת השיעור השני מוצאים בהצבה באחד הכללים. למשוואה הריבועית יכולים להיות שני פתרונות, פתרון אחד או אף פתרון. לכן לפרבולה ולישר יכולות להיות שתי נקודות משותפות, נקודה אחת (כשהישר נוגע בפרבולה) או אף נקודה.
טיפ: כדאי לבדוק כל פתרון בהצבה בשתי המשוואות: נקודה שמתאימה רק לאחת מהן אינה פתרון של המערכת.
מה לומדים בנושא
פרבולה וישר
לדוגמה: נתונה מערכת המשוואות: y = x² − 3x + 4 y = −6x + 8 מצאו את ערכי x של נקודות החיתוך של הפרבולה והישר.
תשובה ופתרון
התשובה: x = −4 או x = 1
משווים את שני הביטויים של y : x² − 3x + 4 = −6x + 8 מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: x² + 3x − 4 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: 3² − 4 · 1 · (−4) = 25 √25 = 5 x = (−3 + 5) : 2 = 1 x = (−3 − 5) : 2 = −4
שתי פרבולות
לדוגמה: נתונה מערכת המשוואות: y = x² + 2 y = −x² + 4 מצאו את ערכי x של הנקודות המשותפות לשתי הפרבולות.
תשובה ופתרון
התשובה: x = −1 או x = 1
משווים את שני הביטויים של y : x² + 2 = −x² + 4 מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: 2x² − 2 = 0 2x² = 2 x² = 1 ולכן x = 1 או x = −1
המשמעות הגרפית
לדוגמה:
בשרטוט הגרפים של מערכת המשוואות: y = x² + 4x + 3 y = 3x + 3 קראו מהשרטוט את נקודת החיתוך השמאלית של הפרבולה והישר.תשובה ופתרון
התשובה: (−1, 0)
הפרבולה והישר נפגשים בנקודות (−1, 0) , (0, 3) . השמאלית היא (−1, 0) . בדיקה בהצבה: y = (−1)² + 4 · (−1) + 3 = 0 , y = 3 · (−1) + 3 = 0
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: מערכות עם מעגל · סרטוט הגרפים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתה ט׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).