פונקציה ריבועית, משוואות ואי־שוויונות ריבועיים לכיתה ט׳
בנושא פונקציה ריבועית, משוואות ואי־שוויונות ריבועיים בכיתה ט׳ לומדים הצבה וחישוב ערך, קודקוד וסוג הקיצון, תכונות מהגרף, הצגה כמכפלה וחיתוך עם הציר האופקי, התאמת כלל לגרף, פתרון בנוסחת השורשים, סידור המשוואה ופתרונה, בעיות שמובילות למשוואה ריבועית, פתרון אי־שוויון לפי הגרף ופתרון אי־שוויון ריבועי. פונקציה ריבועית היא פונקציה שבכלל שלה יש איבר ריבועי, והגרף שלה הוא פרבולה. כשהמקדם של האיבר הריבועי חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ויש לה נקודת מינימום; כשהוא שלילי, היא פתוחה כלפי מטה ויש לה נקודת מקסימום. כדי לחשב ערך של הפונקציה מציבים את המספר במקום האיקס, ומספר שלילי כותבים בסוגריים.
כשהכלל כתוב כמקדם כפול ריבוע של סוגריים, ועוד מספר, קוראים ממנו את הקודקוד: המספר שבתוך הסוגריים, עם הסימן ההפוך, הוא השיעור הראשון, והמספר שמחוץ לסוגריים הוא השיעור השני. מינוס בתוך הסוגריים מזיז את הפרבולה ימינה, ופלוס מזיז אותה שמאלה. כשהכלל כתוב כמכפלה של שני סוגריים, רואים בו את נקודות החיתוך עם הציר האופקי: כל סוגריים מתאפסים בנקודה אחת. ציר הסימטריה עובר באמצע ביניהן, ועליו נמצא הקודקוד. מהגרף קוראים את הקודקוד, את נקודות החיתוך עם הצירים, היכן הפונקציה עולה והיכן היא יורדת, והיכן היא חיובית ושלילית. משוואה ריבועית פותרים בנוסחת השורשים, אחרי שמסדרים אותה כך שבאגף אחד יהיה 0. קודם מחשבים את הביטוי שמתחת לשורש: כשהוא חיובי יש שני פתרונות, כשהוא שווה ל־0 יש פתרון אחד, וכשהוא שלילי אין פתרון. בבעיה מילולית בודקים בסוף איזה פתרון מתאים: אורך או מספר חיובי לא יכולים לצאת שליליים. אי־שוויון ריבועי פותרים בעזרת הפרבולה: מוצאים היכן הביטוי שווה ל־0, ובודקים לאן היא פתוחה. כשאי־השוויון כולל גם שוויון, נקודות החיתוך שייכות לפתרון.
טיפ: לפני שבוחרים כלל לגרף, בדקו לאן הפרבולה פתוחה והיכן הקודקוד שלה. שני הדברים האלה פוסלים כמעט את כל הכללים הלא נכונים.
מה לומדים בנושא
הצבה וחישוב ערך
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² . חשבו את f(5) .
תשובה ופתרון
התשובה: −75
f(5) = (−3) · 5² = (−3) · 25 = −75
קודקוד וסוג הקיצון
לדוגמה: מהם שיעורי הקודקוד של הפרבולה y = 3x² − 7 ?
תשובה ופתרון
התשובה: (0, −7)
אין סוגריים, ולכן הקודקוד על הציר האנכי: השיעור הראשון הוא 0. המספר שמחוץ לסוגריים הוא −7, ולכן הקודקוד הוא (0, −7) .
תכונות מהגרף
לדוגמה:
בשרטוט הגרף של פונקציה ריבועית. מהם שיעורי הקודקוד של הפרבולה?תשובה ופתרון
התשובה: (−4, −2)
(−4, −2)
הצגה כמכפלה וחיתוך עם הציר האופקי
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x + 7)(x − 9) . היכן הגרף שלה חותך את הציר האופקי? כתבו את ערכי האיקס.
תשובה ופתרון
התשובה: x = −7 או x = 9
x + 7 = 0 x = −7 x − 9 = 0 x = 9
התאמת כלל לגרף
לדוגמה:
איזה כלל מתאים לגרף?- y = −2x² − 5
- y = 2x² + 5
- y = −2x² + 5
- y = 2x² − 5
תשובה ופתרון
התשובה: וואי שווה מינוס שתיים איקס בריבוע ועוד חמש
הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד שלה הוא (0, 5) . הכלל המתאים: y = −2x² + 5
פתרון בנוסחת השורשים
לדוגמה: פתרו: x² − 2x − 63 = 0
תשובה ופתרון
התשובה: x = 9 או x = −7
הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−2)² − 4 · 1 · (−63) = 256 √256 = 16 x = (2 + 16) : 2 = 9 x = (2 − 16) : 2 = −7
סידור המשוואה ופתרונה
לדוגמה: פתרו: x² = 2x + 63
תשובה ופתרון
התשובה: x = 9 או x = −7
מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: x² − 2x − 63 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−2)² − 4 · 1 · (−63) = 256 √256 = 16 x = (2 + 16) : 2 = 9 x = (2 − 16) : 2 = −7
בעיות שמובילות למשוואה ריבועית
לדוגמה: האורך של מלבן גדול ב־8 ס״מ מהרוחב שלו, והשטח שלו 33 סמ״ר. מה הרוחב של המלבן?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
מסמנים את הרוחב באיקס. האורך הוא איקס ועוד 8, והשטח הוא אורך כפול רוחב: x(x + 8) = 33 x² + 8x − 33 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: 8² − 4 · 1 · (−33) = 196 √196 = 14 x = (−8 + 14) : 2 = 3 x = (−8 − 14) : 2 = −11 הפתרון −11 שלילי, ורוחב לא יכול להיות שלילי. לכן הרוחב הוא 3 ס״מ.
פתרון אי־שוויון לפי הגרף
לדוגמה:
בשרטוט הגרף של הפונקציה y = f(x) . פתרו את אי־השוויון f(x) > 0- x < −5 או x > −1
- −5 < x < −1
- x ≤ −5 או x ≥ −1
- −5 ≤ x ≤ −1
תשובה ופתרון
התשובה: איקס קטן ממינוס חמש או איקס גדול ממינוס אחת
הגרף חותך את הציר האופקי בנקודות שבהן x = −5, x = −1 . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא מעל הציר האופקי משני הצדדים של נקודות החיתוך. הפתרון: x < −5 או x > −1
פתרון אי־שוויון ריבועי
לדוגמה: פתרו: (x + 6)(x − 8) > 0
- x < −6 או x > 8
- −6 < x < 8
- כל מספר
- אין פתרון
תשובה ופתרון
התשובה: איקס קטן ממינוס שש או איקס גדול משמונה
כל אחד מהסוגריים מתאפס בנקודה אחת: x = −6, x = 8 הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא מעל הציר האופקי משני הצדדים של נקודות החיתוך. הפתרון: x < −6 או x > 8
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: סרטוט גרף של פונקציה ריבועית במחברת · השלמה לריבוע · בחירת דרך הפתרון היעילה · משוואות עם פרמטר · אי־שוויונות ממעלה גבוהה · אי־שוויונות רציונליים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתה ט׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).