# פונקציה ריבועית, משוואות ואי־שוויונות ריבועיים לכיתה ט׳

> פונקציה ריבועית, משוואות ואי־שוויונות ריבועיים לכיתה ט׳: הצבה וחישוב ערך, קודקוד וסוג הקיצון ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא פונקציה ריבועית, משוואות ואי־שוויונות ריבועיים בכיתה ט׳ לומדים הצבה וחישוב ערך, קודקוד וסוג הקיצון, תכונות מהגרף, הצגה כמכפלה וחיתוך עם הציר האופקי, התאמת כלל לגרף, פתרון בנוסחת השורשים, סידור המשוואה ופתרונה, בעיות שמובילות למשוואה ריבועית, פתרון אי־שוויון לפי הגרף ופתרון אי־שוויון ריבועי.

פונקציה ריבועית היא פונקציה שבכלל שלה יש איבר ריבועי, והגרף שלה הוא פרבולה. כשהמקדם של האיבר הריבועי חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ויש לה נקודת מינימום; כשהוא שלילי, היא פתוחה כלפי מטה ויש לה נקודת מקסימום. כדי לחשב ערך של הפונקציה מציבים את המספר במקום האיקס, ומספר שלילי כותבים בסוגריים.

כשהכלל כתוב כמקדם כפול ריבוע של סוגריים, ועוד מספר, קוראים ממנו את הקודקוד: המספר שבתוך הסוגריים, עם הסימן ההפוך, הוא השיעור הראשון, והמספר שמחוץ לסוגריים הוא השיעור השני. מינוס בתוך הסוגריים מזיז את הפרבולה ימינה, ופלוס מזיז אותה שמאלה.

כשהכלל כתוב כמכפלה של שני סוגריים, רואים בו את נקודות החיתוך עם הציר האופקי: כל סוגריים מתאפסים בנקודה אחת. ציר הסימטריה עובר באמצע ביניהן, ועליו נמצא הקודקוד. מהגרף קוראים את הקודקוד, את נקודות החיתוך עם הצירים, היכן הפונקציה עולה והיכן היא יורדת, והיכן היא חיובית ושלילית.

משוואה ריבועית פותרים בנוסחת השורשים, אחרי שמסדרים אותה כך שבאגף אחד יהיה 0. קודם מחשבים את הביטוי שמתחת לשורש: כשהוא חיובי יש שני פתרונות, כשהוא שווה ל־0 יש פתרון אחד, וכשהוא שלילי אין פתרון. בבעיה מילולית בודקים בסוף איזה פתרון מתאים: אורך או מספר חיובי לא יכולים לצאת שליליים. אי־שוויון ריבועי פותרים בעזרת הפרבולה: מוצאים היכן הביטוי שווה ל־0, ובודקים לאן היא פתוחה. כשאי־השוויון כולל גם שוויון, נקודות החיתוך שייכות לפתרון.

**טיפ:** לפני שבוחרים כלל לגרף, בדקו לאן הפרבולה פתוחה והיכן הקודקוד שלה. שני הדברים האלה פוסלים כמעט את כל הכללים הלא נכונים.

## מה לומדים בנושא

### הצבה וחישוב ערך

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² . חשבו את f(5) .
- תשובה: −75
- פתרון: f(5) = (−3) · 5² = (−3) · 25 = −75

### קודקוד וסוג הקיצון

- דוגמה: מהם שיעורי הקודקוד של הפרבולה y = 3x² − 7 ?
- תשובה: (0, −7)
- פתרון: אין סוגריים, ולכן הקודקוד על הציר האנכי: השיעור הראשון הוא 0.  המספר שמחוץ לסוגריים הוא −7, ולכן הקודקוד הוא (0, −7) .

### תכונות מהגרף

- דוגמה: (מערכת צירים ובה פרבולה) בשרטוט הגרף של פונקציה ריבועית. מהם שיעורי הקודקוד של הפרבולה?
- תשובה: (−4, −2)
- פתרון: (−4, −2)

### הצגה כמכפלה וחיתוך עם הציר האופקי

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x + 7)(x − 9) . היכן הגרף שלה חותך את הציר האופקי? כתבו את ערכי האיקס.
- תשובה: x = −7 או x = 9
- פתרון: x + 7 = 0 x = −7 x − 9 = 0 x = 9

### התאמת כלל לגרף

- דוגמה: (מערכת צירים ובה פרבולה) איזה כלל מתאים לגרף?
- אפשרויות: וואי שווה מינוס שתיים איקס בריבוע פחות חמש y = −2x² − 5 · וואי שווה שתיים איקס בריבוע ועוד חמש y = 2x² + 5 · וואי שווה מינוס שתיים איקס בריבוע ועוד חמש y = −2x² + 5 · וואי שווה שתיים איקס בריבוע פחות חמש y = 2x² − 5
- תשובה: וואי שווה מינוס שתיים איקס בריבוע ועוד חמש
- פתרון: הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד שלה הוא (0, 5) . הכלל המתאים: y = −2x² + 5

### פתרון בנוסחת השורשים

- דוגמה: פתרו: x² − 2x − 63 = 0
- תשובה: x = 9 או x = −7
- פתרון: הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−2)² − 4 · 1 · (−63) = 256 √256 = 16 x = (2 + 16) : 2 = 9 x = (2 − 16) : 2 = −7

### סידור המשוואה ופתרונה

- דוגמה: פתרו: x² = 2x + 63
- תשובה: x = 9 או x = −7
- פתרון: מעבירים את כל האיברים לאגף אחד: x² − 2x − 63 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: (−2)² − 4 · 1 · (−63) = 256 √256 = 16 x = (2 + 16) : 2 = 9 x = (2 − 16) : 2 = −7

### בעיות שמובילות למשוואה ריבועית

- דוגמה: האורך של מלבן גדול ב־8 ס״מ מהרוחב שלו, והשטח שלו 33 סמ״ר. מה הרוחב של המלבן?
- תשובה: 3 ס״מ
- פתרון: מסמנים את הרוחב באיקס. האורך הוא איקס ועוד 8, והשטח הוא אורך כפול רוחב: x(x + 8) = 33 x² + 8x − 33 = 0 הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים: 8² − 4 · 1 · (−33) = 196 √196 = 14 x = (−8 + 14) : 2 = 3 x = (−8 − 14) : 2 = −11 הפתרון −11 שלילי, ורוחב לא יכול להיות שלילי. לכן הרוחב הוא 3 ס״מ.

### פתרון אי־שוויון לפי הגרף

- דוגמה: (מערכת צירים ובה פרבולה) בשרטוט הגרף של הפונקציה y = f(x) . פתרו את אי־השוויון f(x) > 0
- אפשרויות: איקס קטן ממינוס חמש או איקס גדול ממינוס אחת x < −5 או x > −1 · מינוס חמש קטן מאיקס קטן ממינוס אחת −5 < x < −1 · איקס קטן או שווה למינוס חמש או איקס גדול או שווה למינוס אחת x ≤ −5 או x ≥ −1 · מינוס חמש קטן או שווה לאיקס קטן או שווה למינוס אחת −5 ≤ x ≤ −1
- תשובה: איקס קטן ממינוס חמש או איקס גדול ממינוס אחת
- פתרון: הגרף חותך את הציר האופקי בנקודות שבהן x = −5, x = −1 . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא מעל הציר האופקי משני הצדדים של נקודות החיתוך. הפתרון: x < −5 או x > −1

### פתרון אי־שוויון ריבועי

- דוגמה: פתרו: (x + 6)(x − 8) > 0
- אפשרויות: איקס קטן ממינוס שש או איקס גדול משמונה x < −6 או x > 8 · מינוס שש קטן מאיקס קטן משמונה −6 < x < 8 · כל מספר · אין פתרון
- תשובה: איקס קטן ממינוס שש או איקס גדול משמונה
- פתרון: כל אחד מהסוגריים מתאפס בנקודה אחת: x = −6, x = 8 הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא מעל הציר האופקי משני הצדדים של נקודות החיתוך. הפתרון: x < −6 או x > 8

## עוד לא באתר

- סרטוט גרף של פונקציה ריבועית במחברת
- השלמה לריבוע
- בחירת דרך הפתרון היעילה
- משוואות עם פרמטר
- אי־שוויונות ממעלה גבוהה
- אי־שוויונות רציונליים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתה ט׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה ט׳](https://kixplo.com/il/he/math/grade-9/)