משולש שווה שוקיים: משפטים הפוכים לכיתה ט׳
בנושא משולש שווה שוקיים: משפטים הפוכים בכיתה ט׳ לומדים זוויות וקווים מיוחדים, משפטים הפוכים, חישוב עם הקווים המיוחדים ומשולש שווה שוקיים במערכת צירים. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, והגובה לבסיס הוא גם התיכון לבסיס וגם חוצה את זווית הראש. לכן הגובה חוצה את הבסיס לשני חלקים שווים, וזווית הראש היא פעמיים הזווית שבין הגובה לשוק.
המשפטים ההפוכים עובדים בכיוון השני: משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים, והצלעות שמול הזוויות השוות שוות. גם קטע אחד שהוא שניים מהקווים המיוחדים מוכיח שהמשולש שווה שוקיים: גובה שהוא גם תיכון, חוצה זווית שהוא גם גובה, או תיכון שהוא גם חוצה זווית. קו מיוחד אחד לבדו אינו מספיק, כי יש כזה בכל משולש. במערכת צירים, כששני קודקודים נמצאים על הציר האופקי באותו מרחק מראשית הצירים, הציר האנכי הוא האנך האמצעי של הקטע שביניהם. כל נקודה על הציר האנכי יוצרת איתם משולש שווה שוקיים, ואת אורך השוק מחשבים במשפט פיתגורס.
טיפ: כדי להראות שמשולש שווה שוקיים, חפשו שתי זוויות שוות, או קטע אחד שהוא שני קווים מיוחדים בבת אחת.
מה לומדים בנושא
זוויות וקווים מיוחדים
לדוגמה: במשולש שווה שוקיים ABC השוקיים הן AB = AC , וזווית הבסיס היא ∢B = 30° . מה גודל זווית הראש ∢A ?
תשובה ופתרון
התשובה: 120 °
זוויות הבסיס שוות: ∢C = ∢B = 30° ∢A = 180° − 30° − 30° = 120°
משפטים הפוכים
לדוגמה: במשולש ABC נתון: ∢B = 85°, ∢C = 85° . האם המשולש שווה שוקיים?
- לא
- כן
תשובה ופתרון
התשובה: כן
∢A = 180° − 85° − 85° = 10° יש שתי זוויות שוות, ולכן המשולש שווה שוקיים: הצלעות שמול הזוויות השוות שוות.
חישוב עם הקווים המיוחדים
לדוגמה: במשולש שווה שוקיים ABC השוקיים הן AB = AC . הקטע AD הוא הגובה לבסיס , ו־ BC = 6 ס״מ. מה אורך BD ?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן הוא חוצה את הבסיס: BD = 6 : 2 = 3 האורך הוא 3 ס״מ.
משולש שווה שוקיים במערכת צירים
לדוגמה:
הקודקודים של המשולש הם A(−1, 0), B(1, 0), C(0, 2) . האם המשולש ABC שווה שוקיים?- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: כן
AB² = 2² = 4 AC² = 1² + 2² = 5 BC² = −1² + 2² = 5 שתי צלעות שוות, ולכן המשולש שווה שוקיים.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת המשפטים ההפוכים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתה ט׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).