טכניקה אלגברית ופירוק לגורמים לכיתה ט׳
בנושא טכניקה אלגברית ופירוק לגורמים בכיתה ט׳ לומדים פתיחת סוגריים: חוק הפילוג המורחב, נוסחאות הכפל המקוצר, משוואות עם פתיחת סוגריים, השוואת שטחים, הוצאת גורם משותף, פירוק טרינום, משוואות ריבועיות בפירוק לגורמים, צמצום שברים אלגבריים וכפל וחילוק שברים אלגבריים. פתיחת סוגריים: כופלים כל איבר בסוגריים הראשונים בכל איבר בסוגריים השניים, ומכנסים איברים דומים. נוסחאות הכפל המקוצר חוסכות את הכפל הארוך: ריבוע של סכום הוא ריבוע האיבר הראשון, ועוד פעמיים המכפלה של שני האיברים, ועוד ריבוע האיבר השני. בריבוע של הפרש האיבר האמצעי מופיע עם מינוס, וסכום כפול הפרש של אותם שני איברים הוא ריבוע הראשון פחות ריבוע השני.
פירוק לגורמים הוא ההפך מפתיחת סוגריים: כותבים ביטוי כמכפלה. מתחילים תמיד בהוצאת הגורם המשותף הגדול ביותר. כדי לפרק טרינום שהמקדם של האיבר הריבועי בו הוא 1, מחפשים שני מספרים שמכפלתם היא המספר החופשי וסכומם הוא המקדם של האיבר האמצעי, ובודקים בפתיחת הסוגריים בחזרה. במשוואה עם מכפלות של סוגריים פותחים קודם את הסוגריים; כשהאיברים הריבועיים מתבטלים, נשארת משוואה ממעלה ראשונה. משוואה ריבועית שמתפרקת לגורמים נפתרת אחרת: מכפלה שווה 0 רק כשאחד הגורמים שווה 0, ולכן משווים כל גורם ל־0 ומקבלים פתרון אחד או שניים. בשבר אלגברי מפרקים את המונה ואת המכנה ומצמצמים גורם משותף. בכפל שברים כופלים מונה במונה ומכנה במכנה, ובחילוק כופלים בשבר ההפוך. מספר שמאפס מכנה אינו בתחום ההצבה. אוריינות: נגר משווה לוח מלבני ללוח ריבועי, ובעזרת פתיחת סוגריים יודע איזה לוח גדול יותר, ובכמה, בלי לדעת את האורך עצמו.
טיפ: כדאי לבדוק את הפתיחה: מציבים מספר קטן, למשל 1, גם בביטוי המקורי וגם בתשובה. אם יוצא אותו מספר, כנראה שלא טעיתם.
מה לומדים בנושא
פתיחת סוגריים: חוק הפילוג המורחב
לדוגמה: פתחו סוגריים וכנסו: (x + 2)(x + 9)
תשובה ופתרון
התשובה: x² + 11x + 18
ארבע המכפלות: x² + 9x + 2x + 18 מכנסים איברים דומים: x² + 11x + 18
נוסחאות הכפל המקוצר
לדוגמה: פתחו סוגריים וכנסו: (x − 7)²
תשובה ופתרון
התשובה: x² − 14x + 49
ריבוע של הפרש: הריבוע של האיבר הראשון, פחות פעמיים המכפלה של שני האיברים, ועוד הריבוע של האיבר השני: x² − 2 · x · 7 + 7² ומכנסים: x² − 14x + 49
משוואות עם פתיחת סוגריים
לדוגמה: פתרו: (x − 7)(x + 9) = x² − 93
תשובה ופתרון
התשובה: −15
פותחים סוגריים: x² + 2x − 63 = x² − 93 מחסירים את x² משני האגפים ומעבירים אגפים: 2x = −30 מחלקים ב־2: x = −15
השוואת שטחים
לדוגמה: למלבן יש צלעות באורך x + 3 ו־ x + 7 , ולריבוע יש צלע באורך x + 5 . בכמה גדול שטח הריבוע משטח המלבן?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
שטח המלבן: (x + 3)(x + 7) = x² + 10x + 21 שטח הריבוע: (x + 5)² = x² + 10x + 25 ההפרש: (x² + 10x + 25) − (x² + 10x + 21) = 4
הוצאת גורם משותף
לדוגמה: פרקו לגורמים: 10x + 4
תשובה ופתרון
התשובה: 2(5x + 2)
הגורם המשותף: 2 מה שנשאר בסוגריים: 5x + 2 בודקים: פותחים את הסוגריים וחוזרים לביטוי המקורי: 2(5x + 2) = 10x + 4
פירוק טרינום
לדוגמה: פרקו לגורמים: x² + 11x + 18
תשובה ופתרון
התשובה: (x + 2)(x + 9)
שני המספרים: 2 · 9 = 18 2 + 9 = 11 ולכן: x² + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9)
משוואות ריבועיות בפירוק לגורמים
לדוגמה: פתרו: x(x − 9) = 0
תשובה ופתרון
התשובה: x = 0 או x = 9
x(x − 9) = 0 משווים כל גורם ל־0: x = 0 או x = 9
צמצום שברים אלגבריים
לדוגמה: צמצמו: 12x² : 6x
תשובה ופתרון
התשובה: 2x
מפרקים את המונה לגורמים: 6x · 2x : 6x מצמצמים: 2x
כפל וחילוק שברים אלגבריים
לדוגמה: חשבו ופשטו: (6x : 4) × (6 : x)
תשובה ופתרון
התשובה: 9
תחום ההצבה: x ≠ 0 (6x · 6) : (4 · x) = 36x : 4x התשובה: 9
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: נוסחאות כפל ממעלה שלישית · פירוק טרינום כשהמקדם של האיבר הריבועי אינו 1 · חיבור וחיסור שברים אלגבריים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לכיתה ט׳ של משרד החינוך (תשפ״ז).