וקטורים: חוקי הפעולות, תלות לינארית ויחידות ההצגה לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא וקטורים: חוקי הפעולות, תלות לינארית ויחידות ההצגה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים כוח שקול והעתק, חוקי הפעולות, תלות לינארית, וקטורים במצולע כצירופים, יחסים בעזרת יחידות ההצגה והוכחות בעזרת וקטורים. כוח, מהירות והעתק הם וקטורים: יש להם גודל וכיוון. כאשר כמה כוחות פועלים על גוף באותה נקודה, הכוח השקול הוא סכום הווקטורים שלהם, האלכסון של המקבילית שהם בונים. אם שני כוחות מאונכים זה לזה, את גודל הכוח השקול מוצאים לפי משפט פיתגורס. אם הזווית ביניהם אחרת, ריבוע הגודל של הסכום שווה לסכום ריבועי הגדלים ועוד פעמיים מכפלת הגדלים בקוסינוס הזווית שבין הכוחות. גוף נמצא בשיווי משקל כאשר סכום כל הכוחות שפועלים עליו הוא וקטור האפס.
הפעולות על וקטורים מקיימות חוקים כמו הפעולות על מספרים. לפי חוק החילוף, אפשר להחליף את סדר המחוברים. לפי חוק הקיבוץ, בסכום של שלושה וקטורים אפשר לחבר קודם כל זוג. חוק הפילוג פועל בשני כיוונים: מספר כפול סכום של וקטורים שווה לסכום הכפולות, וסכום של שני מספרים כפול וקטור שווה לסכום שתי הכפולות של הווקטור. לעומת זאת, אורך הסכום של שני וקטורים אינו סכום האורכים, חוץ מהמקרה שבו הם באותו כיוון. וקטור הוא צירוף לינארי של וקטורים אחרים כאשר הוא סכום שלהם, כל אחד כפול מספר. שני וקטורים תלויים לינארית כאשר הם מקבילים, ושלושה וקטורים תלויים לינארית כאשר הם נמצאים במישור אחד. אם שני וקטורים אינם מקבילים, כל וקטור במישור שלהם הוא צירוף שלהם בדרך אחת בלבד. זו יחידות ההצגה: אם שני צירופים של אותם שני וקטורים שווים, המקדמים שלהם שווים. כך מוצאים, למשל, באיזה יחס שני קטעים במשולש חותכים זה את זה: כותבים את הווקטור אל נקודת המפגש בשתי דרכים, ומשווים את המקדמים. הוכחה לדוגמה לכך שהאלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה: במקבילית איי בי סי די, הנקודה אם היא אמצע האלכסון איי סי. הווקטור איי אם הוא חצי מהווקטור איי סי, כלומר חצי מסכום הווקטורים איי בי ואיי די. לפי כלל המשולש, הווקטור בי אם הוא הווקטור בי איי ועוד הווקטור איי אם, כלומר חצי מההפרש בין הווקטור איי די לבין הווקטור איי בי. ההפרש הזה הוא הווקטור בי די, ולכן הווקטור בי אם הוא חצי מהווקטור בי די. מכאן שהנקודה אם היא גם אמצע האלכסון בי די, והאלכסונים חוצים זה את זה.
טיפ: לפני שמשווים מקדמים, ודאו ששני הווקטורים אינם מקבילים: רק אז ההצגה יחידה.
מה לומדים בנושא
כוח שקול והעתק
לדוגמה: שני כוחות פועלים על גוף באותה נקודה, בכיוונים מאונכים זה לזה. גודל הכוח האחד 30 ניוטון, וגודל הכוח השני 40 ניוטון. מה גודל הכוח השקול, בניוטונים?
תשובה ופתרון
התשובה: 50
הכוחות מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית שלהם אפס, והכוח השקול הוא היתר במשולש ישר זווית. לפי משפט פיתגורס, גודלו √(30² + 40²) = 50 ניוטון.
חוקי הפעולות
לדוגמה: לפי איזה חוק אפשר לכתוב את הביטוי (5u⃗ + v⃗) + w⃗ בצורה 5u⃗ + (v⃗ + w⃗) ?
- חוק הפילוג: מספר כפול סכום של וקטורים
- חוק הקיבוץ של הכפל במספר
- חוק הפילוג: סכום של מספרים כפול וקטור
- חוק הקיבוץ של החיבור
תשובה ופתרון
התשובה: חוק הקיבוץ של החיבור
המעבר מהביטוי (5u⃗ + v⃗) + w⃗ לביטוי 5u⃗ + (v⃗ + w⃗) נעשה לפי חוק הקיבוץ של החיבור.
תלות לינארית
לדוגמה: הווקטורים u⃗ ו־ v⃗ אינם מקבילים, ונתון a⃗ = −3u⃗ + 5v⃗ ו־ b⃗ = ku⃗ − 15v⃗ . בעבור איזה ערך של k הווקטורים a⃗ ו־ b⃗ מקבילים?
תשובה ופתרון
התשובה: 9
אם הווקטורים מקבילים, אז b⃗ = t · a⃗ . משווים את המקדמים של v⃗ : −15 = 5t , ולכן t = −3 . משווים את המקדמים של u⃗ : k = −3 · (−3) = 9 .
וקטורים במצולע כצירופים
לדוגמה: במקבילית ABCD מתקיים AB⃗ = u⃗ ו־ AD⃗ = v⃗ . איזה ביטוי שווה לווקטור BA⃗ ?
- −v⃗
- u⃗
- −2u⃗
- −u⃗
תשובה ופתרון
התשובה: פחות הווקטור יוּ
במקבילית מתקיים BC⃗ = AD⃗ ו־ DC⃗ = AB⃗ . לכן BA⃗ = −u⃗ .
יחסים בעזרת יחידות ההצגה
לדוגמה: במשולש ABC , הנקודה D היא אמצע הצלע BC , והנקודה E היא אמצע הצלע AC . הקטעים AD ו־ BE נפגשים בנקודה O . מהו היחס AO : OD , בצורה המצומצמת?
תשובה ופתרון
התשובה: 2 : 1
נסמן AB⃗ = u⃗ ו־ AC⃗ = v⃗ . אז AD⃗ = ½ · u⃗ + ½ · v⃗ ו־ AE⃗ = ½ · v⃗ . נכתוב AO⃗ = k · AD⃗ ו־ BO⃗ = t · BE⃗ . מהשוויון AO⃗ = AB⃗ + BO⃗ משווים את המקדמים של u⃗ ושל v⃗ : ½ · k = 1 − t ו־ ½ · k = ½ · t . הפתרון: k = 2/3 ו־ t = 2/3 , ולכן AO⃗ = (2/3) · AD⃗ והיחס הוא AO : OD = 2 : 1 .
הוכחות בעזרת וקטורים
לדוגמה: במשולש ABC הנקודה M היא אמצע הצלע AB והנקודה N היא אמצע הצלע AC . כדי להוכיח שהקטע MN מקביל לצלע BC ושווה למחצית ממנה, כותבים את השוויונות האלה לפי הסדר: (שלב חסר) , MN⃗ = ½ · BA⃗ + ½ · AC⃗ , MN⃗ = ½ · (BA⃗ + AC⃗) , ולבסוף MN⃗ = ½ · BC⃗ . איזה שלב חסר?
- MN⃗ = MA⃗ − AN⃗
- MN⃗ = AM⃗ + AN⃗
- MN⃗ = MA⃗ + NA⃗
- MN⃗ = MA⃗ + AN⃗
תשובה ופתרון
התשובה: הווקטור אם אן שווה הווקטור אם איי ועוד הווקטור איי אן
ההוכחה המלאה: MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ , MN⃗ = ½ · BA⃗ + ½ · AC⃗ , MN⃗ = ½ · (BA⃗ + AC⃗) , ולבסוף MN⃗ = ½ · BC⃗ . לכן הקטע מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית ממנה. השלב החסר הוא MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הגדרת מרחב וקטורי בכללותה · מחלקות שקילות (העשרה).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).