# וקטורים: חוקי הפעולות, תלות לינארית ויחידות ההצגה לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> וקטורים: חוקי הפעולות, תלות לינארית ויחידות ההצגה לכיתה י״ב · 5 יח״ל: כוח שקול והעתק, חוקי הפעולות ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא וקטורים: חוקי הפעולות, תלות לינארית ויחידות ההצגה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים כוח שקול והעתק, חוקי הפעולות, תלות לינארית, וקטורים במצולע כצירופים, יחסים בעזרת יחידות ההצגה והוכחות בעזרת וקטורים.

כוח, מהירות והעתק הם וקטורים: יש להם גודל וכיוון. כאשר כמה כוחות פועלים על גוף באותה נקודה, הכוח השקול הוא סכום הווקטורים שלהם, האלכסון של המקבילית שהם בונים. אם שני כוחות מאונכים זה לזה, את גודל הכוח השקול מוצאים לפי משפט פיתגורס. אם הזווית ביניהם אחרת, ריבוע הגודל של הסכום שווה לסכום ריבועי הגדלים ועוד פעמיים מכפלת הגדלים בקוסינוס הזווית שבין הכוחות. גוף נמצא בשיווי משקל כאשר סכום כל הכוחות שפועלים עליו הוא וקטור האפס.

הפעולות על וקטורים מקיימות חוקים כמו הפעולות על מספרים. לפי חוק החילוף, אפשר להחליף את סדר המחוברים. לפי חוק הקיבוץ, בסכום של שלושה וקטורים אפשר לחבר קודם כל זוג. חוק הפילוג פועל בשני כיוונים: מספר כפול סכום של וקטורים שווה לסכום הכפולות, וסכום של שני מספרים כפול וקטור שווה לסכום שתי הכפולות של הווקטור. לעומת זאת, אורך הסכום של שני וקטורים אינו סכום האורכים, חוץ מהמקרה שבו הם באותו כיוון.

וקטור הוא צירוף לינארי של וקטורים אחרים כאשר הוא סכום שלהם, כל אחד כפול מספר. שני וקטורים תלויים לינארית כאשר הם מקבילים, ושלושה וקטורים תלויים לינארית כאשר הם נמצאים במישור אחד. אם שני וקטורים אינם מקבילים, כל וקטור במישור שלהם הוא צירוף שלהם בדרך אחת בלבד. זו יחידות ההצגה: אם שני צירופים של אותם שני וקטורים שווים, המקדמים שלהם שווים. כך מוצאים, למשל, באיזה יחס שני קטעים במשולש חותכים זה את זה: כותבים את הווקטור אל נקודת המפגש בשתי דרכים, ומשווים את המקדמים.

הוכחה לדוגמה לכך שהאלכסונים של מקבילית חוצים זה את זה: במקבילית איי בי סי די, הנקודה אם היא אמצע האלכסון איי סי. הווקטור איי אם הוא חצי מהווקטור איי סי, כלומר חצי מסכום הווקטורים איי בי ואיי די. לפי כלל המשולש, הווקטור בי אם הוא הווקטור בי איי ועוד הווקטור איי אם, כלומר חצי מההפרש בין הווקטור איי די לבין הווקטור איי בי. ההפרש הזה הוא הווקטור בי די, ולכן הווקטור בי אם הוא חצי מהווקטור בי די. מכאן שהנקודה אם היא גם אמצע האלכסון בי די, והאלכסונים חוצים זה את זה.

**טיפ:** לפני שמשווים מקדמים, ודאו ששני הווקטורים אינם מקבילים: רק אז ההצגה יחידה.

## מה לומדים בנושא

### כוח שקול והעתק

- דוגמה: שני כוחות פועלים על גוף באותה נקודה, בכיוונים מאונכים זה לזה. גודל הכוח האחד 30 ניוטון, וגודל הכוח השני 40 ניוטון. מה גודל הכוח השקול, בניוטונים? (שני חצים שיוצאים מאותה נקודה, מאונכים זה לזה)
- תשובה: 50
- פתרון: הכוחות מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית שלהם אפס, והכוח השקול הוא היתר במשולש ישר זווית. לפי משפט פיתגורס, גודלו √(30² + 40²) = 50 ניוטון.

### חוקי הפעולות

- דוגמה: לפי איזה חוק אפשר לכתוב את הביטוי (5u⃗ + v⃗) + w⃗ בצורה 5u⃗ + (v⃗ + w⃗) ?
- אפשרויות: חוק הפילוג: מספר כפול סכום של וקטורים · חוק הקיבוץ של הכפל במספר · חוק הפילוג: סכום של מספרים כפול וקטור · חוק הקיבוץ של החיבור
- תשובה: חוק הקיבוץ של החיבור
- פתרון: המעבר מהביטוי (5u⃗ + v⃗) + w⃗ לביטוי 5u⃗ + (v⃗ + w⃗) נעשה לפי חוק הקיבוץ של החיבור.

### תלות לינארית

- דוגמה: הווקטורים u⃗ ו־ v⃗ אינם מקבילים, ונתון a⃗ = −3u⃗ + 5v⃗ ו־ b⃗ = ku⃗ − 15v⃗ . בעבור איזה ערך של k הווקטורים a⃗ ו־ b⃗ מקבילים?
- תשובה: 9
- פתרון: אם הווקטורים מקבילים, אז b⃗ = t · a⃗ . משווים את המקדמים של v⃗ : −15 = 5t , ולכן t = −3 . משווים את המקדמים של u⃗ : k = −3 · (−3) = 9 .

### וקטורים במצולע כצירופים

- דוגמה: במקבילית ABCD מתקיים AB⃗ = u⃗ ו־ AD⃗ = v⃗ . איזה ביטוי שווה לווקטור BA⃗ ? (מקבילית ששתי צלעות שלה יוצאות מאותו קודקוד כחצים)
- אפשרויות: פחות הווקטור וִי −v⃗ · הווקטור יוּ u⃗ · מינוס שתיים כפול הווקטור יוּ −2u⃗ · פחות הווקטור יוּ −u⃗
- תשובה: פחות הווקטור יוּ
- פתרון: במקבילית מתקיים BC⃗ = AD⃗ ו־ DC⃗ = AB⃗ . לכן BA⃗ = −u⃗ .

### יחסים בעזרת יחידות ההצגה

- דוגמה: במשולש ABC , הנקודה D היא אמצע הצלע BC , והנקודה E היא אמצע הצלע AC . הקטעים AD ו־ BE נפגשים בנקודה O . מהו היחס AO : OD , בצורה המצומצמת? (משולש ושני קטעים מקודקודים אל הצלעות שמולם, שנפגשים בתוכו)
- תשובה: 2 : 1
- פתרון: נסמן AB⃗ = u⃗ ו־ AC⃗ = v⃗ . אז AD⃗ = ½ · u⃗ + ½ · v⃗ ו־ AE⃗ = ½ · v⃗ . נכתוב AO⃗ = k · AD⃗ ו־ BO⃗ = t · BE⃗ . מהשוויון AO⃗ = AB⃗ + BO⃗ משווים את המקדמים של u⃗ ושל v⃗ : ½ · k = 1 − t ו־ ½ · k = ½ · t . הפתרון: k = 2/3 ו־ t = 2/3 , ולכן AO⃗ = (2/3) · AD⃗ והיחס הוא AO : OD = 2 : 1 .

### הוכחות בעזרת וקטורים

- דוגמה: במשולש ABC הנקודה M היא אמצע הצלע AB והנקודה N היא אמצע הצלע AC . כדי להוכיח שהקטע MN מקביל לצלע BC ושווה למחצית ממנה, כותבים את השוויונות האלה לפי הסדר: (שלב חסר) , MN⃗ = ½ · BA⃗ + ½ · AC⃗ , MN⃗ = ½ · (BA⃗ + AC⃗) , ולבסוף MN⃗ = ½ · BC⃗ . איזה שלב חסר? (משולש וקטע שמחבר את אמצעי שתי צלעות)
- אפשרויות: הווקטור אם אן שווה הווקטור אם איי פחות הווקטור איי אן MN⃗ = MA⃗ − AN⃗ · הווקטור אם אן שווה הווקטור איי אם ועוד הווקטור איי אן MN⃗ = AM⃗ + AN⃗ · הווקטור אם אן שווה הווקטור אם איי ועוד הווקטור אן איי MN⃗ = MA⃗ + NA⃗ · הווקטור אם אן שווה הווקטור אם איי ועוד הווקטור איי אן MN⃗ = MA⃗ + AN⃗
- תשובה: הווקטור אם אן שווה הווקטור אם איי ועוד הווקטור איי אן
- פתרון: ההוכחה המלאה: MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ , MN⃗ = ½ · BA⃗ + ½ · AC⃗ , MN⃗ = ½ · (BA⃗ + AC⃗) , ולבסוף MN⃗ = ½ · BC⃗ . לכן הקטע מקביל לצלע השלישית ושווה למחצית ממנה. השלב החסר הוא MN⃗ = MA⃗ + AN⃗ .

## עוד לא באתר

- הגדרת מרחב וקטורי בכללותה
- מחלקות שקילות (העשרה)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)