המעגל: המשוואה הכללית, שני מעגלים ומקומות גאומטריים לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא המעגל: המשוואה הכללית, שני מעגלים ומקומות גאומטריים בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים המשוואה הכללית של מעגל, מצב הדדי של שני מעגלים, המיתר המשותף, הזזה של מעגל ושל משיק ומקומות גאומטריים שהם מעגלים. כשפותחים את הסוגריים במשוואת מעגל מקבלים את הצורה הכללית: איקס בריבוע ועוד וואי בריבוע, ועוד איברים של איקס ושל וואי ועוד מספר, והכול שווה לאפס. כדי למצוא את המרכז ואת הרדיוס משלימים לריבוע: אוספים יחד את האיברים של איקס ואת האיברים של וואי, ומוסיפים לשני האגפים את ריבוע חצי המקדם. אם באגף ימין מתקבל מספר חיובי, זה מעגל, והמספר הוא ריבוע הרדיוס. אם מתקבל אפס, זו נקודה אחת בלבד, ואם מתקבל מספר שלילי, אין אף נקודה.
המצב ההדדי של שני מעגלים נקבע לפי המרחק בין המרכזים. אם הוא גדול מסכום הרדיוסים, כל מעגל נמצא מחוץ לאחר. אם הוא שווה לסכום, המעגלים משיקים מבחוץ, ואם הוא שווה להפרש, הם משיקים מבפנים. אם הוא בין ההפרש לסכום, המעגלים נחתכים בשתי נקודות, ואם הוא קטן מההפרש, מעגל אחד נמצא בתוך האחר. כשמחסרים את משוואות שני מעגלים נחתכים, האיברים הריבועיים מתבטלים ומתקבלת משוואה של ישר: זה הישר שעליו המיתר המשותף. כשמזיזים מעגל, הרדיוס לא משתנה, והמרכז זז. משיק שזז יחד עם המעגל נשאר מקביל לעצמו, ונקודת ההשקה זזה כמו המרכז. יש מקומות גאומטריים שהם מעגלים. מסמנים נקודה כללית בשיעורים שלה, כותבים את התנאי בעזרת נוסחת המרחק, מעלים בריבוע, פותחים סוגריים ומשלימים לריבוע. למשל, הנקודות שסכום ריבועי המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות הוא מספר קבוע נמצאות על מעגל שמרכזו באמצע הקטע ביניהן, אם המספר גדול מספיק. גם הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה אחת כפול מהמרחק שלהן מנקודה שנייה נמצאות על מעגל.
טיפ: לפני שמחשבים רדיוס מהמשוואה הכללית, בדקו שהמספר שמתקבל באגף ימין חיובי.
מה לומדים בנושא
המשוואה הכללית של מעגל
לדוגמה: המשוואה x² + y² + 10x − 12y + 57 = 0 היא משוואה של מעגל. מהו שיעור האיקס של המרכז שלו?
תשובה ופתרון
התשובה: −5
משלימים לריבוע: (x + 5)² + (y − 6)² = 4 . לכן המרכז הוא (−5, 6) , ושיעור האיקס שלו הוא −5 .
מצב הדדי של שני מעגלים
לדוגמה: נתונים המעגלים (x − 4)² + (y + 3)² = 9 ו־ (x + 5)² + (y + 3)² = 1 . מהו המצב ההדדי שלהם?
- המעגלים משיקים מבחוץ
- המעגלים נחתכים בשתי נקודות
- המעגלים משיקים מבפנים
- כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר
תשובה ופתרון
התשובה: כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר
המרכזים הם (4, −3) ו־ (−5, −3) , ולכן ריבוע המרחק ביניהם הוא d² = 81 . הרדיוסים הם 3 ו־ 1 , ולכן (r₁ + r₂)² = 16 ו־ (r₁ − r₂)² = 4 . מכאן: כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר.
המיתר המשותף
לדוגמה: נתונים המעגלים (x + 3)² + (y + 5)² = 25 ו־ (x + 4)² + (y + 7)² = 50 , הנחתכים בשתי נקודות. איזה ישר עובר דרך שתי נקודות החיתוך?
- 2x − y = −1
- x + 2y = 3
- 2x + y = −3
- x + 2y = −3
תשובה ופתרון
התשובה: איקס ועוד שתיים וואי שווה מינוס שלוש
מחסרים את המשוואות ומקבלים את הישר x + 2y = −3 .
הזזה של מעגל ושל משיק
לדוגמה: נתון המעגל (x + 4)² + (y − 5)² = 7 . מזיזים אותו יחידה אחת ימינה וחמש יחידות למטה. מהי המשוואה של המעגל שמתקבל?
- (x + 5)² + (y − 10)² = 7
- (x + 3)² + (y − 10)² = 7
- (x + 5)² + y² = 7
- (x + 3)² + y² = 7
תשובה ופתרון
התשובה: פותחים סוגריים איקס ועוד שלוש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה שבע
המרכז (−4, 5) זז אל (−3, 0) , והרדיוס לא משתנה, ולכן המשוואה היא (x + 3)² + y² = 7 .
מקומות גאומטריים שהם מעגלים
לדוגמה: נתונות הנקודות A(6, −5) ו־ B(0, 5) . מהו המקום הגאומטרי של הנקודות P שמקיימות PA² + PB² = 82 ?
- ישר
- נקודה אחת בלבד
- אף נקודה
- מעגל
תשובה ופתרון
התשובה: מעגל
נקודת האמצע של AB היא N(3, 0) ו־ AB² = 136 . פותחים את הסוגריים ומשלימים לריבוע: PA² + PB² = 2 · PN² + 68 , ולכן PN² = 7 . ריבוע המרחק חיובי, ולכן התשובה: מעגל.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: מקום גאומטרי שהוא קשת (זווית היקפית).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).