# המעגל: המשוואה הכללית, שני מעגלים ומקומות גאומטריים לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> המעגל: המשוואה הכללית, שני מעגלים ומקומות גאומטריים לכיתה י״ב · 5 יח״ל: המשוואה הכללית של מעגל ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא המעגל: המשוואה הכללית, שני מעגלים ומקומות גאומטריים בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים המשוואה הכללית של מעגל, מצב הדדי של שני מעגלים, המיתר המשותף, הזזה של מעגל ושל משיק ומקומות גאומטריים שהם מעגלים.

כשפותחים את הסוגריים במשוואת מעגל מקבלים את הצורה הכללית: איקס בריבוע ועוד וואי בריבוע, ועוד איברים של איקס ושל וואי ועוד מספר, והכול שווה לאפס. כדי למצוא את המרכז ואת הרדיוס משלימים לריבוע: אוספים יחד את האיברים של איקס ואת האיברים של וואי, ומוסיפים לשני האגפים את ריבוע חצי המקדם. אם באגף ימין מתקבל מספר חיובי, זה מעגל, והמספר הוא ריבוע הרדיוס. אם מתקבל אפס, זו נקודה אחת בלבד, ואם מתקבל מספר שלילי, אין אף נקודה.

המצב ההדדי של שני מעגלים נקבע לפי המרחק בין המרכזים. אם הוא גדול מסכום הרדיוסים, כל מעגל נמצא מחוץ לאחר. אם הוא שווה לסכום, המעגלים משיקים מבחוץ, ואם הוא שווה להפרש, הם משיקים מבפנים. אם הוא בין ההפרש לסכום, המעגלים נחתכים בשתי נקודות, ואם הוא קטן מההפרש, מעגל אחד נמצא בתוך האחר. כשמחסרים את משוואות שני מעגלים נחתכים, האיברים הריבועיים מתבטלים ומתקבלת משוואה של ישר: זה הישר שעליו המיתר המשותף. כשמזיזים מעגל, הרדיוס לא משתנה, והמרכז זז. משיק שזז יחד עם המעגל נשאר מקביל לעצמו, ונקודת ההשקה זזה כמו המרכז.

יש מקומות גאומטריים שהם מעגלים. מסמנים נקודה כללית בשיעורים שלה, כותבים את התנאי בעזרת נוסחת המרחק, מעלים בריבוע, פותחים סוגריים ומשלימים לריבוע. למשל, הנקודות שסכום ריבועי המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות הוא מספר קבוע נמצאות על מעגל שמרכזו באמצע הקטע ביניהן, אם המספר גדול מספיק. גם הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה אחת כפול מהמרחק שלהן מנקודה שנייה נמצאות על מעגל.

**טיפ:** לפני שמחשבים רדיוס מהמשוואה הכללית, בדקו שהמספר שמתקבל באגף ימין חיובי.

## מה לומדים בנושא

### המשוואה הכללית של מעגל

- דוגמה: המשוואה x² + y² + 10x − 12y + 57 = 0 היא משוואה של מעגל. מהו שיעור האיקס של המרכז שלו?
- תשובה: −5
- פתרון: משלימים לריבוע: (x + 5)² + (y − 6)² = 4 . לכן המרכז הוא (−5, 6) , ושיעור האיקס שלו הוא −5 .

### מצב הדדי של שני מעגלים

- דוגמה: נתונים המעגלים (x − 4)² + (y + 3)² = 9 ו־ (x + 5)² + (y + 3)² = 1 . מהו המצב ההדדי שלהם?
- אפשרויות: המעגלים משיקים מבחוץ · המעגלים נחתכים בשתי נקודות · המעגלים משיקים מבפנים · כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר
- תשובה: כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר
- פתרון: המרכזים הם (4, −3) ו־ (−5, −3) , ולכן ריבוע המרחק ביניהם הוא d² = 81 . הרדיוסים הם 3 ו־ 1 , ולכן (r₁ + r₂)² = 16 ו־ (r₁ − r₂)² = 4 . מכאן: כל אחד מהמעגלים נמצא מחוץ לאחר.

### המיתר המשותף

- דוגמה: נתונים המעגלים (x + 3)² + (y + 5)² = 25 ו־ (x + 4)² + (y + 7)² = 50 , הנחתכים בשתי נקודות. איזה ישר עובר דרך שתי נקודות החיתוך?
- אפשרויות: שתיים איקס פחות וואי שווה מינוס אחת 2x − y = −1 · איקס ועוד שתיים וואי שווה שלוש x + 2y = 3 · שתיים איקס ועוד וואי שווה מינוס שלוש 2x + y = −3 · איקס ועוד שתיים וואי שווה מינוס שלוש x + 2y = −3
- תשובה: איקס ועוד שתיים וואי שווה מינוס שלוש
- פתרון: מחסרים את המשוואות ומקבלים את הישר x + 2y = −3 .

### הזזה של מעגל ושל משיק

- דוגמה: נתון המעגל (x + 4)² + (y − 5)² = 7 . מזיזים אותו יחידה אחת ימינה וחמש יחידות למטה. מהי המשוואה של המעגל שמתקבל?
- אפשרויות: פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות עשר סוגרים סוגריים בריבוע שווה שבע (x + 5)² + (y − 10)² = 7 · פותחים סוגריים איקס ועוד שלוש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות עשר סוגרים סוגריים בריבוע שווה שבע (x + 3)² + (y − 10)² = 7 · פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה שבע (x + 5)² + y² = 7 · פותחים סוגריים איקס ועוד שלוש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה שבע (x + 3)² + y² = 7
- תשובה: פותחים סוגריים איקס ועוד שלוש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה שבע
- פתרון: המרכז (−4, 5) זז אל (−3, 0) , והרדיוס לא משתנה, ולכן המשוואה היא (x + 3)² + y² = 7 .

### מקומות גאומטריים שהם מעגלים

- דוגמה: נתונות הנקודות A(6, −5) ו־ B(0, 5) . מהו המקום הגאומטרי של הנקודות P שמקיימות PA² + PB² = 82 ?
- אפשרויות: ישר · נקודה אחת בלבד · אף נקודה · מעגל
- תשובה: מעגל
- פתרון: נקודת האמצע של AB היא N(3, 0) ו־ AB² = 136 . פותחים את הסוגריים ומשלימים לריבוע: PA² + PB² = 2 · PN² + 68 , ולכן PN² = 7 . ריבוע המרחק חיובי, ולכן התשובה: מעגל.

## עוד לא באתר

- מקום גאומטרי שהוא קשת (זווית היקפית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)