# המכפלה הסקלרית ושימושיה במרחב לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> המכפלה הסקלרית ושימושיה במרחב לכיתה י״ב · 5 יח״ל: חוקי המכפלה הסקלרית וחוק המקבילית, ניצבות בקובייה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא המכפלה הסקלרית ושימושיה במרחב בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים חוקי המכפלה הסקלרית וחוק המקבילית, ניצבות בקובייה ומשפט שלושת האנכים.

המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר: מכפלת האורכים שלהם בקוסינוס הזווית ביניהם. היא מקיימת את חוק החילוף ואת חוק הפילוג, ולכן פותחים בה סוגריים כמו בכפל של מספרים. הריבוע של וקטור שווה לריבוע האורך שלו, וכך מוצאים אורך של סכום או של הפרש: פותחים את הריבוע ומציבים את האורכים ואת המכפלה. כשמחברים את הריבוע של הסכום ואת הריבוע של ההפרש, המכפלות מתבטלות, ומתקבל חוק המקבילית: סכום ריבועי האלכסונים שווה לסכום ריבועי ארבע הצלעות.

שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה בדיוק כשהמכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. כך בודקים ניצבות גם בין ישרים מצטלבים, שאינם נפגשים: הזווית בין שני ישרים היא הזווית בין הווקטורים שלהם. בקובייה, למשל, אלכסון של הבסיס מאונך לאלכסון השני של הפאה העליונה, אף שהם אינם נפגשים. ישר מאונך למישור כשהוא מאונך לשני ישרים במישור שאינם מקבילים. ישר אחד אינו מספיק, וגם שני ישרים מקבילים אינם מספיקים.

משפט שלושת האנכים קושר בין קטע משופע לבין ההיטל שלו על מישור. אם קטע מאונך למישור, וההיטל של קטע משופע מאונך לישר במישור, אז גם הקטע המשופע מאונך לאותו ישר. גם ההפך נכון: אם הקטע המשופע מאונך לישר במישור, גם ההיטל שלו מאונך לו. בעזרת המשפט מוצאים אורכים בשרשרת של משולשים ישרי זווית, ובכל משולש משתמשים במשפט פיתגורס.

הוכחה לדוגמה למשפט שלושת האנכים: קטע מאונך למישור, קטע משופע יוצא מאותה נקודה, וההיטל שלו מאונך לישר במישור. הווקטור של הקטע המשופע הוא סכום של הווקטור של הקטע המאונך ושל הווקטור של ההיטל. לכן המכפלה הסקלרית שלו עם וקטור בכיוון הישר היא סכום של שתי מכפלות. המכפלה הראשונה היא אפס, כי הקטע המאונך מאונך לכל ישר במישור. המכפלה השנייה היא אפס, כי ההיטל מאונך לישר. לכן המכפלה כולה היא אפס, והקטע המשופע מאונך לישר.

**טיפ:** לפני שמסיקים שישר מאונך למישור, בדקו ששני הישרים במישור אינם מקבילים.

## מה לומדים בנושא

### חוקי המכפלה הסקלרית וחוק המקבילית

- דוגמה: נתון |u⃗| = 3 ו־ |v⃗| = 9 , והזווית בין הווקטורים היא 60° . מהו האורך |u⃗ + v⃗| , בצורה הפשוטה ביותר?
- תשובה: 3√13
- פתרון: פעמיים המכפלה הסקלרית היא 2 · 3 · 9 · ½ , כלומר 27 . לכן |u⃗ + v⃗|² = 9 + 81 + 27 , כלומר |u⃗ + v⃗|² = 117 , ולכן |u⃗ + v⃗| = 3√13 .

### ניצבות בקובייה

- דוגמה: בקובייה ABCDA′B′C′D′ , איזה מאלכסוני הפאות מאונך לאלכסון BD ? (תיבה שקודקודיה מסומנים באותיות)
- אפשרויות: איי די תג AD′ · איי תג בי A′B · בי תג סי B′C · איי תג סי תג A′C′
- תשובה: איי תג סי תג
- פתרון: נציב את הקובייה במערכת צירים כך שאורך המקצוע הוא 1 , הקודקוד A בראשית והמקצועות AB , AD ו־ AA′ על הצירים. אז BD⃗ = (−1, 1, 0) ו־ A′C′⃗ = (1, 1, 0) , והמכפלה הסקלרית שלהם היא אפס. לכן האלכסון המאונך הוא A′C′ . לכל אחד מהאלכסונים האחרים המכפלה עם BD⃗ אינה אפס.

### משפט שלושת האנכים

- דוגמה: בתיבה ABCDA′B′C′D′ , איזה מהקטעים מאונך למקצוע DC ? (תיבה שקודקודיה מסומנים באותיות)
- אפשרויות: איי תג סי A′C · איי תג בי A′B · איי סי AC · איי תג די A′D
- תשובה: איי תג די
- פתרון: המקצוע A′A מאונך לבסיס, וההיטל של A′D על הבסיס הוא AD , שמאונך למקצוע DC כי הבסיס מלבן. לפי משפט שלושת האנכים, הקטע A′D מאונך למקצוע DC . ההיטלים של שאר הקטעים אינם מאונכים למקצוע.

## עוד לא באתר

- השוואת הכלי הווקטורי והטריגונומטרי

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)