הפרבולה כמקום גאומטרי לכיתה י״ב · 5 יח״ל

בנושא הפרבולה כמקום גאומטרי בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הפרמטר, המוקד והמדריך, משוואת הפרבולה, ישר ופרבולה, משיק לפרבולה ומקומות גאומטריים שהם פרבולות. פרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה קבועה, המוקד, שווה למרחק שלהן מישר קבוע, המדריך. כשהמוקד נמצא על הציר האופקי והמדריך מאונך לו, במרחקים שווים משני צדי ראשית הצירים, מתקבלת המשוואה הקנונית: וואי בריבוע שווה לפעמיים פּי כפול איקס. המרחק בין המוקד לבין המדריך הוא הערך המוחלט של פּי. כשפּי חיובי, המוקד נמצא במרחק של חצי פּי מימין לראשית, המדריך במרחק כזה משמאלה, והפרבולה נפתחת ימינה. כשפּי שלילי, הכול מתהפך והפרבולה נפתחת שמאלה. הפרבולה סימטרית ביחס לציר האופקי, והקודקוד שלה בראשית.

כדי למצוא את הנקודות המשותפות לישר ולפרבולה, מציבים את משוואת הישר במשוואת הפרבולה ופותרים משוואה ריבועית. אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שתי נקודות משותפות, אם היא אפס הישר משיק לפרבולה, ואם היא שלילית אין נקודות משותפות. את השיפוע של המשיק בנקודה על הפרבולה מוצאים בגזירה של שני האגפים: השיפוע הוא פּי חלקי השיעור האנכי של הנקודה. כדי למצוא מקום גאומטרי, מסמנים נקודה כללית, כותבים את התנאי בעזרת נוסחת המרחק ומפשטים. מרחק שווה מנקודה ומישר שאינו עובר דרכה נותן תמיד פרבולה: הנקודה היא המוקד, הישר הוא המדריך, והקודקוד נמצא באמצע הדרך ביניהם. כשמזיזים את הפרבולה, המוקד, המדריך והקודקוד זזים איתה.

טיפ: המספר שמופיע לפני איקס במשוואה הוא פעמיים פּי, ולא פּי עצמו. חלקו אותו בשתיים לפני שמחשבים את המוקד.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

הפרמטר, המוקד והמדריך

לדוגמה: הפרבולה y² = 2x כתובה בצורה y² = 2px . מהו p ?

תשובה ופתרון

התשובה: 1

משווים מקדמים: 2p = 2 , ולכן p = 1 .

משוואת הפרבולה

לדוגמה: המוקד של פרבולה הוא F(−1, 0) , והמדריך שלה הוא הישר x = 1 . מהי המשוואה של הפרבולה?

תשובה ופתרון

התשובה: וואי בריבוע שווה מינוס ארבע איקס

המוקד הוא (p / 2, 0) , ולכן p / 2 = −1 ו־ p = −2 . מכאן 2p = −4 , והמשוואה היא y² = −4x .

ישר ופרבולה

לדוגמה: נתונים הפרבולה y² = 12x והישר y = −2x − 6 . כמה נקודות משותפות יש להם?

תשובה ופתרון

התשובה: אין נקודות משותפות

מציבים ומקבלים 4x² + 12x + 36 = 0 . הדיסקרימיננטה היא −432 , ולכן אין נקודות משותפות.

משיק לפרבולה

לדוגמה: מהו השיפוע של המשיק לפרבולה y² = −2x בנקודה (−2, 2) ?

תשובה ופתרון

התשובה: −1/2

כאן p = −1 , ולכן השיפוע הוא −1/2 .

מקומות גאומטריים שהם פרבולות

לדוגמה: מהו המקום הגאומטרי של הנקודות שהמרחק שלהן מהנקודה A(6, −5) שווה למרחק שלהן מהישר x = 0 ?

תשובה ופתרון

התשובה: פרבולה

מרחק שווה מנקודה ומישר שאינו עובר דרכה: התשובה היא פרבולה.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: התכונה האופטית (העשרה) · משיק לפרבולה כמקום גאומטרי.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←