ישרים ומישורים במרחב לכיתה י״ב · 5 יח״ל

בנושא ישרים ומישורים במרחב בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הישר במרחב, מצב הדדי של שני ישרים, משוואת המישור, ישר ומישור, מרחקים במרחב וזוויות בין מישורים. ישר במרחב נקבע על ידי נקודה אחת שעליו ווקטור כיוון. כל נקודה של הישר מתקבלת כשמוסיפים לנקודה הנתונה כפולה של וקטור הכיוון, והמספר שכופלים בו נקרא פרמטר. כדי לבדוק אם נקודה נמצאת על ישר, מחפשים פרמטר אחד שנותן את שלושת השיעורים שלה. שני ישרים במרחב יכולים להיות מקבילים, מתלכדים, נחתכים או מצטלבים. אם וקטורי הכיוון מקבילים, הישרים מקבילים או מתלכדים. אחרת משווים את השיעורים: אם יש פתרון, הישרים נחתכים, ואם אין, הם מצטלבים.

משוואה של מישור היא משוואה ממעלה ראשונה בשלושה משתנים. המקדמים של המשתנים הם הרכיבים של וקטור נורמל, וקטור שמאונך לכל ישר במישור. כדי למצוא מישור שעובר דרך שלוש נקודות, מחפשים נורמל שמאונך לשני וקטורים בין הנקודות, ואחר כך מציבים נקודה ומוצאים את האיבר החופשי. שני מישורים שאינם מקבילים נחתכים בישר, ווקטור הכיוון שלו מאונך לשני הנורמלים. ישר חותך מישור בנקודה אחת כשוקטור הכיוון שלו אינו מאונך לנורמל. אם הוא מאונך לנורמל, הישר מקביל למישור או מוכל בו, ונקודה אחת של הישר מכריעה ביניהם. המרחק של נקודה ממישור הוא הערך המוחלט של מה שמתקבל כשמציבים את הנקודה במשוואה, מחולק בגודל הנורמל. כך מוצאים גם מרחק בין מישורים מקבילים ומרחק בין ישרים מצטלבים: דרך הישר הראשון עובר מישור שמקביל לישר השני, והמרחק בין הישרים הוא המרחק של נקודה של הישר השני מהמישור הזה. הזווית בין שני מישורים היא הזווית שאינה קהה בין הנורמלים שלהם, ולכן הקוסינוס שלה הוא הערך המוחלט של המכפלה הסקלרית של הנורמלים, מחולק במכפלת הגדלים. הזווית בין ישר למישור משלימה לתשעים מעלות את הזווית בין הישר לנורמל, ולכן מחשבים את הסינוס שלה באותה דרך.

טיפ: לפני שמחשבים זווית בין ישר למישור, זכרו שהנוסחה עם הנורמל נותנת את הסינוס ולא את הקוסינוס.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

הישר במרחב

לדוגמה: על הישר x⃗ = (0, 5, 1) + t(3, 4, −1) נמצאת הנקודה שבה t = −1 . מהו השיעור x שלה?

תשובה ופתרון

התשובה: −3

מציבים t = −1 בשיעור x : x = 0 + (−1) · 3 , כלומר x = −3 .

מצב הדדי של שני ישרים

לדוגמה: נתונים הישרים x⃗ = (0, 3, 5) + t(0, 2, 1) ו־ x⃗ = (3, 2, 2) + k(0, 4, 2) . מהו המצב ההדדי של שני הישרים?

תשובה ופתרון

התשובה: מקבילים

וקטורי הכיוון הם (0, 2, 1) ו־ (0, 4, 2) . וקטורי הכיוון מקבילים, והנקודה הנתונה של הישר השני אינה על הישר הראשון, ולכן הישרים מקבילים.

משוואת המישור

לדוגמה: המישור −5x + 6y − 5z + d = 0 עובר דרך הנקודה P(0, 4, 2) . מהו d ?

תשובה ופתרון

התשובה: −14

מציבים את שיעורי הנקודה במשוואה: 14 + d = 0 , ולכן d = −14 .

ישר ומישור

לדוגמה: נתונים הישר x⃗ = (0, 5, 4) + t(3, 2, 0) והמישור 2x + 3y − 3z + 9 = 0 . עבור איזה ערך של t הישר חותך את המישור?

תשובה ופתרון

התשובה: −1

ההצבה נותנת 12 + 12t = 0 , ולכן t = −1 .

מרחקים במרחב

לדוגמה: מהו המרחק של הנקודה P(−3, −3, −4) מהמישור 2x − y − 2z + 1 = 0 ?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

ההצבה נותנת 6 , וגודל הנורמל הוא √9 = 3 , ולכן המרחק הוא 6 / 3 = 2 .

זוויות בין מישורים

לדוגמה: מהי הזווית בין המישורים y − z + 2 = 0 ו־ 2x − y − z − 5 = 0 ?

תשובה ופתרון

התשובה: 90 °

הנורמלים הם (0, 1, −1) ו־ (2, −1, −1) , ולכן cos α = 0 / √12 ו־ α = 90° .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הצגה פרמטרית של מישור · מרחק בין ישרים מצטלבים בשיטה הגאומטרית.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←