ההיפרבולה והמבט המאחד על חתכי החרוט לכיתה י״ב · 5 יח״ל

בנושא ההיפרבולה והמבט המאחד על חתכי החרוט בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הקודקודים והמוקדים, משוואת ההיפרבולה, הפרש המרחקים מהמוקדים, האסימפטוטות, היפרבולה וישר ואיזה חתך חרוט. היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות, המוקדים, שווה בערכו המוחלט למספר קבוע, הקטן מהמרחק בין המוקדים. ההפרש הזה שווה למרחק בין שני הקודקודים. כשהמרכז בראשית הצירים והמוקדים על הציר האופקי, המשוואה הקנונית היא: איקס בריבוע חלקי ריבוע המרחק של קודקוד מהמרכז, פחות וואי בריבוע חלקי מספר חיובי שני, שווה לאחת. ריבוע המרחק של מוקד מהמרכז שווה לסכום שני המכנים.

להיפרבולה שני ענפים ושתי אסימפטוטות: ישרים דרך המרכז שהענפים מתקרבים אליהם ואינם פוגשים אותם. השיפועים של האסימפטוטות הם פלוס ומינוס השורש של המנה בין המכנה של וואי בריבוע למכנה של איקס בריבוע. כשאיבר וואי בריבוע הוא החיובי, הענפים נפתחים למעלה ולמטה, והמוקדים על הציר האנכי. ישר המקביל לאסימפטוטה פוגש את ההיפרבולה בנקודה אחת בדיוק, והאסימפטוטה עצמה אינה פוגשת אותה כלל. כמעט כל משוואה ממעלה שנייה שאין בה מכפלה של איקס ווואי מתארת חתך חרוט: כששני הריבועים מופיעים עם אותו סימן מתקבלים מעגל או אליפסה, כשהסימנים שונים מתקבלת היפרבולה או זוג ישרים, וכשמופיע רק ריבוע אחד מתקבלת פרבולה.

טיפ: בהיפרבולה המוקד רחוק מהמרכז יותר מהקודקוד, ולכן מחברים את המכנים כדי לקבל את ריבוע המרחק שלו. באליפסה מחסרים.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

הקודקודים והמוקדים

לדוגמה: ההיפרבולה x²/9 − y²/100 = 1 כתובה בצורה x² / a² − y² / b² = 1 , כאשר a ו־ b חיוביים. מהו a ?

תשובה ופתרון

התשובה: 3

כאן a² = 9 , ולכן a = 3 .

משוואת ההיפרבולה

לדוגמה: המוקדים של היפרבולה הם (5, 0) ו־ (−5, 0) , וההפרש בין המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא 8 . מהי המשוואה של ההיפרבולה?

תשובה ופתרון

התשובה: איקס בריבוע חלקי שש עשרה פחות וואי בריבוע חלקי תשע שווה אחת

כאן 2a = 8 , ולכן a = 4 ו־ b² = 25 − 16 = 9 . המוקדים על ציר ה־ x , ולכן המשוואה היא x²/16 − y²/9 = 1 .

הפרש המרחקים מהמוקדים

לדוגמה: המוקדים של ההיפרבולה x²/16 − y²/9 = 1 הם F(5, 0) ו־ G(−5, 0) . הנקודה P נמצאת על הענף השמאלי שלה, ו־ PF = 10 . מהו PG ?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

כאן a = 4 . הענף השמאלי קרוב יותר אל G , ולכן PF − PG = 8 . מכאן PG = 10 − 8 = 2 .

האסימפטוטות

לדוגמה: לאחת האסימפטוטות של ההיפרבולה x²/9 − y²/100 = 1 יש שיפוע חיובי. מהו השיפוע הזה?

תשובה ופתרון

התשובה: 10/3

כאן a = 3 ו־ b = 10 , ולכן האסימפטוטות הן 10x − 3y = 0 ו־ 10x + 3y = 0 . השיפוע החיובי הוא m = 10/3 .

היפרבולה וישר

לדוגמה: נתונים ההיפרבולה x²/16 − y²/64 = 1 והישר y = −2x . כמה נקודות משותפות יש להם?

תשובה ופתרון

התשובה: אין נקודות משותפות

הישר הוא אסימפטוטה של ההיפרבולה. מציבים ומקבלים את המשוואה 0 = 1024 , שאין לה פתרון, ולכן אין נקודות משותפות.

איזה חתך חרוט

לדוגמה: איזו צורה מתארת המשוואה (x + 5)² = y² ?

תשובה ופתרון

התשובה: זוג ישרים

מעבירים אגף: (x + 5)² − y² = 0 . הסימנים שונים והאגף השני הוא אפס, ולכן זה זוג ישרים.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הפונקציה ההופכית כהיפרבולה (העשרה) · חתכי חרוט (העשרה).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←