# ההיפרבולה והמבט המאחד על חתכי החרוט לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> ההיפרבולה והמבט המאחד על חתכי החרוט לכיתה י״ב · 5 יח״ל: הקודקודים והמוקדים, משוואת ההיפרבולה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא ההיפרבולה והמבט המאחד על חתכי החרוט בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הקודקודים והמוקדים, משוואת ההיפרבולה, הפרש המרחקים מהמוקדים, האסימפטוטות, היפרבולה וישר ואיזה חתך חרוט.

היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהפרש המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות, המוקדים, שווה בערכו המוחלט למספר קבוע, הקטן מהמרחק בין המוקדים. ההפרש הזה שווה למרחק בין שני הקודקודים. כשהמרכז בראשית הצירים והמוקדים על הציר האופקי, המשוואה הקנונית היא: איקס בריבוע חלקי ריבוע המרחק של קודקוד מהמרכז, פחות וואי בריבוע חלקי מספר חיובי שני, שווה לאחת. ריבוע המרחק של מוקד מהמרכז שווה לסכום שני המכנים.

להיפרבולה שני ענפים ושתי אסימפטוטות: ישרים דרך המרכז שהענפים מתקרבים אליהם ואינם פוגשים אותם. השיפועים של האסימפטוטות הם פלוס ומינוס השורש של המנה בין המכנה של וואי בריבוע למכנה של איקס בריבוע. כשאיבר וואי בריבוע הוא החיובי, הענפים נפתחים למעלה ולמטה, והמוקדים על הציר האנכי.

ישר המקביל לאסימפטוטה פוגש את ההיפרבולה בנקודה אחת בדיוק, והאסימפטוטה עצמה אינה פוגשת אותה כלל. כמעט כל משוואה ממעלה שנייה שאין בה מכפלה של איקס ווואי מתארת חתך חרוט: כששני הריבועים מופיעים עם אותו סימן מתקבלים מעגל או אליפסה, כשהסימנים שונים מתקבלת היפרבולה או זוג ישרים, וכשמופיע רק ריבוע אחד מתקבלת פרבולה.

**טיפ:** בהיפרבולה המוקד רחוק מהמרכז יותר מהקודקוד, ולכן מחברים את המכנים כדי לקבל את ריבוע המרחק שלו. באליפסה מחסרים.

## מה לומדים בנושא

### הקודקודים והמוקדים

- דוגמה: ההיפרבולה x²/9 − y²/100 = 1 כתובה בצורה x² / a² − y² / b² = 1 , כאשר a ו־ b חיוביים. מהו a ?
- תשובה: 3
- פתרון: כאן a² = 9 , ולכן a = 3 .

### משוואת ההיפרבולה

- דוגמה: המוקדים של היפרבולה הם (5, 0) ו־ (−5, 0) , וההפרש בין המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא 8 . מהי המשוואה של ההיפרבולה?
- אפשרויות: וואי בריבוע חלקי שש עשרה פחות איקס בריבוע חלקי תשע שווה אחת y²/16 − x²/9 = 1 · איקס בריבוע חלקי שש עשרה ועוד וואי בריבוע חלקי תשע שווה אחת x²/16 + y²/9 = 1 · איקס בריבוע חלקי שש עשרה פחות וואי בריבוע חלקי עשרים וחמש שווה אחת x²/16 − y²/25 = 1 · איקס בריבוע חלקי שש עשרה פחות וואי בריבוע חלקי תשע שווה אחת x²/16 − y²/9 = 1
- תשובה: איקס בריבוע חלקי שש עשרה פחות וואי בריבוע חלקי תשע שווה אחת
- פתרון: כאן 2a = 8 , ולכן a = 4 ו־ b² = 25 − 16 = 9 . המוקדים על ציר ה־ x , ולכן המשוואה היא x²/16 − y²/9 = 1 .

### הפרש המרחקים מהמוקדים

- דוגמה: המוקדים של ההיפרבולה x²/16 − y²/9 = 1 הם F(5, 0) ו־ G(−5, 0) . הנקודה P נמצאת על הענף השמאלי שלה, ו־ PF = 10 . מהו PG ?
- תשובה: 2
- פתרון: כאן a = 4 . הענף השמאלי קרוב יותר אל G , ולכן PF − PG = 8 . מכאן PG = 10 − 8 = 2 .

### האסימפטוטות

- דוגמה: לאחת האסימפטוטות של ההיפרבולה x²/9 − y²/100 = 1 יש שיפוע חיובי. מהו השיפוע הזה?
- תשובה: 10/3
- פתרון: כאן a = 3 ו־ b = 10 , ולכן האסימפטוטות הן 10x − 3y = 0 ו־ 10x + 3y = 0 . השיפוע החיובי הוא m = 10/3 .

### היפרבולה וישר

- דוגמה: נתונים ההיפרבולה x²/16 − y²/64 = 1 והישר y = −2x . כמה נקודות משותפות יש להם?
- אפשרויות: נקודה משותפת אחת · שתי נקודות משותפות · אין נקודות משותפות
- תשובה: אין נקודות משותפות
- פתרון: הישר הוא אסימפטוטה של ההיפרבולה. מציבים ומקבלים את המשוואה 0 = 1024 , שאין לה פתרון, ולכן אין נקודות משותפות.

### איזה חתך חרוט

- דוגמה: איזו צורה מתארת המשוואה (x + 5)² = y² ?
- אפשרויות: מעגל · אליפסה · היפרבולה · זוג ישרים
- תשובה: זוג ישרים
- פתרון: מעבירים אגף: (x + 5)² − y² = 0 . הסימנים שונים והאגף השני הוא אפס, ולכן זה זוג ישרים.

## עוד לא באתר

- הפונקציה ההופכית כהיפרבולה (העשרה)
- חתכי חרוט (העשרה)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)