מודלים מעריכיים: גידול, דעיכה וסולם לוגריתמי לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא מודלים מעריכיים: גידול, דעיכה וסולם לוגריתמי בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים גידול מעריכי, זמן מחצית החיים, סולמות לוגריתמיים, כמות מצטברת והשוואה בין שתי תרביות. בגידול מעריכי הכמות מוכפלת באותו מספר בכל פרק זמן שווה. כשמספר החיידקים מוכפל בכל שעה, כעבור מספר שעות כלשהו, הוא המספר ההתחלתי כפול שתיים בחזקת מספר השעות, ושעה אחת קודם לכן הוא היה חצי ממה שהוא עכשיו. בחצי שעה המספר גדל פי השורש של שתיים, כי שני חצאי שעה נותנים יחד הכפלה אחת.
בדעיכה מעריכית הכמות קטנה לחצי בכל פרק זמן קבוע, שנקרא זמן מחצית החיים. כשהכמות היא מספר כפול אִי בחזקת מינוס קֵיי טִי, זמן מחצית החיים הוא הלוגריתם הטבעי של שתיים חלקי קֵיי. כך מחשבים כמה תרופה נשארת בדם וכמה זמן עובר עד שנשאר ממנה חצי. בסולם לוגריתמי כל צעד בסולם הוא כפל באותו מספר. בחיפוש בשיטת החצייה מספר הצעדים הוא הלוגריתם בבסיס שתיים של מספר המילים, מעוגל כלפי מעלה, בסולם ריכטר כל עלייה של אחת היא כפל פי עשר במשרעת, ובדציבלים כל עלייה של עשר היא כפל פי עשר בעוצמה. כשנתון קצב, הכמות המצטברת בפרק זמן היא האינטגרל של הקצב על פרק הזמן.
טיפ: זמן מחצית החיים אינו תלוי בכמות ההתחלתית: מכל כמות שהיא, נשאר חצי כעבור אותו זמן.
מה לומדים בנושא
גידול מעריכי
לדוגמה: במעבדה יש 1,000 חיידקים, ומספרם מוכפל בכל שעה. הטבלה מראה את השעות הראשונות.
| שעה | מספר החיידקים |
|---|---|
| 0 | 1,000 |
| 1 | 2,000 |
| 2 | 4,000 |
תשובה ופתרון
התשובה: 32000
כעבור 5 שעות יהיו 1000 · 2⁵ = 32,000 חיידקים.
זמן מחצית החיים
לדוגמה: בדם יש 4 מיליגרם של תרופה, והכמות קטנה לחצי בכל 4 שעות. כמה מיליגרם יישארו כעבור 4 שעות?
תשובה ופתרון
התשובה: 2
מספר פרקי הזמן הוא 4 : 4 = 1 , ולכן נשארים 4 : 2 = 2 מיליגרם.
סולמות לוגריתמיים
לדוגמה: בחיפוש בשיטת החצייה במילון ממוין, כל צעד משווה את המילה המבוקשת למילה האמצעית ופוסל חצי מהמילים שנותרו, עד שנשארת מילה אחת. כמה צעדים דרושים במילון שיש בו 2 מילים?
תשובה ופתרון
התשובה: 1
מספר הצעדים הוא log₂ 2 = 1 , כי 2¹ = 2 .
כמות מצטברת
לדוגמה: קצב ההפקה של זהב בעולם, בטונות לשנה, הוא בקירוב f(t) = 1500 · e^(0.05t) , כאשר t הוא מספר השנים מתחילת התקופה. מהו קצב ההפקה בתחילת התקופה, בטונות לשנה?
תשובה ופתרון
התשובה: 1500
בתחילת התקופה מציבים t = 0 : f(0) = 1500 · e⁰ = 1500 .
השוואה בין שתי תרביות
לדוגמה: בשתי צלחות יש תרביות חיידקים. בצלחת א׳ מספר החיידקים גדל פי a בכל שעה, ובצלחת ב׳ פי b בכל שעה. בשלוש שעות גדל מספר החיידקים בצלחת א׳ פי 64 , ובצלחת ב׳ פי 8 . איזה קשר מתקיים בין a לבין b ?
- b = a²
- a = b
- a = b³
- a = b²
תשובה ופתרון
התשובה: אֵיי שווה בִּי בריבוע
כאן a³ = 64 , ולכן a = 4 , ו־ b³ = 8 , ולכן b = 2 . מכאן a = b² .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: קריאת פרמטרים מגרף בסולם לוגריתמי · השוואת תרופות ביישומון.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).