# מודלים מעריכיים: גידול, דעיכה וסולם לוגריתמי לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> מודלים מעריכיים: גידול, דעיכה וסולם לוגריתמי לכיתה י״ב · 5 יח״ל: גידול מעריכי, זמן מחצית החיים ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מודלים מעריכיים: גידול, דעיכה וסולם לוגריתמי בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים גידול מעריכי, זמן מחצית החיים, סולמות לוגריתמיים, כמות מצטברת והשוואה בין שתי תרביות.

בגידול מעריכי הכמות מוכפלת באותו מספר בכל פרק זמן שווה. כשמספר החיידקים מוכפל בכל שעה, כעבור מספר שעות כלשהו, הוא המספר ההתחלתי כפול שתיים בחזקת מספר השעות, ושעה אחת קודם לכן הוא היה חצי ממה שהוא עכשיו. בחצי שעה המספר גדל פי השורש של שתיים, כי שני חצאי שעה נותנים יחד הכפלה אחת.

בדעיכה מעריכית הכמות קטנה לחצי בכל פרק זמן קבוע, שנקרא זמן מחצית החיים. כשהכמות היא מספר כפול אִי בחזקת מינוס קֵיי טִי, זמן מחצית החיים הוא הלוגריתם הטבעי של שתיים חלקי קֵיי. כך מחשבים כמה תרופה נשארת בדם וכמה זמן עובר עד שנשאר ממנה חצי.

בסולם לוגריתמי כל צעד בסולם הוא כפל באותו מספר. בחיפוש בשיטת החצייה מספר הצעדים הוא הלוגריתם בבסיס שתיים של מספר המילים, מעוגל כלפי מעלה, בסולם ריכטר כל עלייה של אחת היא כפל פי עשר במשרעת, ובדציבלים כל עלייה של עשר היא כפל פי עשר בעוצמה. כשנתון קצב, הכמות המצטברת בפרק זמן היא האינטגרל של הקצב על פרק הזמן.

**טיפ:** זמן מחצית החיים אינו תלוי בכמות ההתחלתית: מכל כמות שהיא, נשאר חצי כעבור אותו זמן.

## מה לומדים בנושא

### גידול מעריכי

- דוגמה: במעבדה יש 1,000 חיידקים, ומספרם מוכפל בכל שעה. הטבלה מראה את השעות הראשונות. (טבלה של מספר החיידקים בשעות הראשונות) כמה חיידקים יהיו כעבור 5 שעות?
- תשובה: 32000
- פתרון: כעבור 5 שעות יהיו 1000 · 2⁵ = 32,000 חיידקים.

### זמן מחצית החיים

- דוגמה: בדם יש 4 מיליגרם של תרופה, והכמות קטנה לחצי בכל 4 שעות. כמה מיליגרם יישארו כעבור 4 שעות?
- תשובה: 2
- פתרון: מספר פרקי הזמן הוא 4 : 4 = 1 , ולכן נשארים 4 : 2 = 2 מיליגרם.

### סולמות לוגריתמיים

- דוגמה: בחיפוש בשיטת החצייה במילון ממוין, כל צעד משווה את המילה המבוקשת למילה האמצעית ופוסל חצי מהמילים שנותרו, עד שנשארת מילה אחת. כמה צעדים דרושים במילון שיש בו 2 מילים?
- תשובה: 1
- פתרון: מספר הצעדים הוא log₂ 2 = 1 , כי 2¹ = 2 .

### כמות מצטברת

- דוגמה: קצב ההפקה של זהב בעולם, בטונות לשנה, הוא בקירוב f(t) = 1500 · e^(0.05t) , כאשר t הוא מספר השנים מתחילת התקופה. מהו קצב ההפקה בתחילת התקופה, בטונות לשנה?
- תשובה: 1500
- פתרון: בתחילת התקופה מציבים t = 0 : f(0) = 1500 · e⁰ = 1500 .

### השוואה בין שתי תרביות

- דוגמה: בשתי צלחות יש תרביות חיידקים. בצלחת א׳ מספר החיידקים גדל פי a בכל שעה, ובצלחת ב׳ פי b בכל שעה. בשלוש שעות גדל מספר החיידקים בצלחת א׳ פי 64 , ובצלחת ב׳ פי 8 . איזה קשר מתקיים בין a לבין b ?
- אפשרויות: בִּי שווה אֵיי בריבוע b = a² · אֵיי שווה בִּי a = b · אֵיי שווה בִּי בשלישית a = b³ · אֵיי שווה בִּי בריבוע a = b²
- תשובה: אֵיי שווה בִּי בריבוע
- פתרון: כאן a³ = 64 , ולכן a = 4 , ו־ b³ = 8 , ולכן b = 2 . מכאן a = b² .

## עוד לא באתר

- קריאת פרמטרים מגרף בסולם לוגריתמי
- השוואת תרופות ביישומון

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)