פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הרחבת הגזירה והאינטגרציה לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הרחבת הגזירה והאינטגרציה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים נגזרת של חזקה בכל בסיס, הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית, תחום ההגדרה של לוגריתם טבעי, האינטגרל של נגזרת חלקי הפונקציה, האינטגרל של פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית וחקירת פונקציות משולבות. הנגזרת של חזקה שהבסיס שלה הוא מספר חיובי כלשהו מתקבלת בעזרת המספר אִי: כותבים את הבסיס כאִי בחזקת הלוגריתם הטבעי שלו, וגוזרים לפי כלל השרשרת. כך הנגזרת של חזקה כזאת היא אותה חזקה כפול הלוגריתם הטבעי של הבסיס. כשהבסיס גדול מאִי, הנגזרת גדולה מהפונקציה, וכשהוא קטן מאִי, היא קטנה ממנה.
הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית היא פונקציה לוגריתמית: מבודדים את המשתנה בעזרת הלוגריתם הטבעי ומחליפים בין האותיות. תחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית. הלוגריתם הטבעי מוגדר רק למספרים חיוביים, ולכן לוגריתם של ביטוי מוגדר רק במקום שבו הביטוי חיובי, ובקצה התחום יש לגרף אסימפטוטה אנכית. כשהמונה של שבר הוא הנגזרת של המכנה, האינטגרל של השבר הוא הלוגריתם הטבעי של המכנה, כל עוד המכנה חיובי. באופן דומה, כשפונקציה מורכבת מוכפלת בנגזרת של הביטוי הפנימי שלה, האינטגרל הוא פונקציה קדומה של הפונקציה החיצונית, מופעלת על אותו ביטוי. את התשובה בודקים תמיד בגזירה. בחקירת מכפלה של פולינום ושל פונקציה מעריכית גוזרים לפי כלל המכפלה ומוציאים את החזקה של אִי כגורם משותף. החזקה של אִי תמיד חיובית, ולכן הסימן של הנגזרת הוא הסימן של הגורם השני. כשבתוך החזקה יש פונקציה מחזורית, כמו סינוס, לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון.
טיפ: באינטגרל של מכפלה או של שבר מחפשים ביטוי שהנגזרת שלו מופיעה כגורם.
מה לומדים בנושא
נגזרת של חזקה בכל בסיס
לדוגמה: מהי הנגזרת של הפונקציה f(x) = 2ˣ ?
- f′(x) = x · 2^(x − 1)
- f′(x) = 2ˣ
- f′(x) = 2ˣ : ln 2
- f′(x) = 2ˣ · ln 2
תשובה ופתרון
התשובה: אף תג של איקס שווה שתיים בחזקת איקס כפול לֶן שתיים
כאן 2ˣ = e^(x ln 2) , ולפי כלל השרשרת f′(x) = 2ˣ · ln 2 .
הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית
לדוגמה: מהי הפונקציה ההפוכה של הפונקציה f(x) = e^(x + 3) + 4 ?
- f⁻¹(x) = ln(x + 4) − 3
- f⁻¹(x) = ln(x + 3) + 4
- f⁻¹(x) = ln(x − 4) + 3
- f⁻¹(x) = ln(x − 4) − 3
תשובה ופתרון
התשובה: אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס פחות ארבע סוגרים סוגריים פחות שלוש
מהמשוואה y = e^(x + 3) + 4 מקבלים e^(x + 3) = y − 4 , ולכן x = ln(y − 4) − 3 . מחליפים בין האותיות: f⁻¹(x) = ln(x − 4) − 3 .
תחום ההגדרה של לוגריתם טבעי
לדוגמה: מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = ln(−2x + 5) ?
תשובה ופתרון
התשובה: x < 2.5
הביטוי −2x + 5 חייב להיות חיובי: −2x + 5 > 0 , ולכן x < 2.5 .
האינטגרל של נגזרת חלקי הפונקציה
לדוגמה: מהי הפונקציה הקדומה הכללית של 2x : (x² + 5) ?
- 1 : (x² + 5) + C
- 2x · ln(x² + 5) + C
- −1 : (x² + 5)² + C
- ln(x² + 5) + C
תשובה ופתרון
התשובה: לֶן פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים ועוד סי
הנגזרת של המכנה x² + 5 היא 2x , והיא המונה. המכנה תמיד חיובי, ולכן הפונקציה הקדומה היא ln(x² + 5) + C .
האינטגרל של פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
לדוגמה: מהו האינטגרל ∫ (2x − 3) · e^(x² − 3x) dx ? רמז: הגורם 2x − 3 הוא הנגזרת של המעריך.
- e^(2x − 3) + C
- (2x − 3) · e^(x² − 3x) + C
- e^(x² − 3x) : (2x − 3) + C
- e^(x² − 3x) + C
תשובה ופתרון
התשובה: אִי בחזקת פותחים סוגריים איקס בריבוע פחות שלוש איקס סוגרים סוגריים ועוד סי
לפי כלל השרשרת, הנגזרת של e^(x² − 3x) היא (2x − 3) · e^(x² − 3x) . לכן האינטגרל הוא e^(x² − 3x) + C .
חקירת פונקציות משולבות
לדוגמה: לפונקציה הנתונה f(x) = x · e^(−4x) יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור האיקס שלה?
תשובה ופתרון
התשובה: 1/4
הנגזרת היא f′(x) = e^(−4x) · (1 − 4x) . היא מתאפסת כאשר 1 − 4x = 0 , כלומר x = 1/4 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי (הוסרו מהתוכנית) · נפח גוף סיבוב (הוסר מהתוכנית).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).