# פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הרחבת הגזירה והאינטגרציה לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הרחבת הגזירה והאינטגרציה לכיתה י״ב · 5 יח״ל: נגזרת של חזקה בכל בסיס ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: הרחבת הגזירה והאינטגרציה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים נגזרת של חזקה בכל בסיס, הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית, תחום ההגדרה של לוגריתם טבעי, האינטגרל של נגזרת חלקי הפונקציה, האינטגרל של פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית וחקירת פונקציות משולבות.

הנגזרת של חזקה שהבסיס שלה הוא מספר חיובי כלשהו מתקבלת בעזרת המספר אִי: כותבים את הבסיס כאִי בחזקת הלוגריתם הטבעי שלו, וגוזרים לפי כלל השרשרת. כך הנגזרת של חזקה כזאת היא אותה חזקה כפול הלוגריתם הטבעי של הבסיס. כשהבסיס גדול מאִי, הנגזרת גדולה מהפונקציה, וכשהוא קטן מאִי, היא קטנה ממנה.

הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית היא פונקציה לוגריתמית: מבודדים את המשתנה בעזרת הלוגריתם הטבעי ומחליפים בין האותיות. תחום ההגדרה של הפונקציה ההפוכה הוא קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית. הלוגריתם הטבעי מוגדר רק למספרים חיוביים, ולכן לוגריתם של ביטוי מוגדר רק במקום שבו הביטוי חיובי, ובקצה התחום יש לגרף אסימפטוטה אנכית.

כשהמונה של שבר הוא הנגזרת של המכנה, האינטגרל של השבר הוא הלוגריתם הטבעי של המכנה, כל עוד המכנה חיובי. באופן דומה, כשפונקציה מורכבת מוכפלת בנגזרת של הביטוי הפנימי שלה, האינטגרל הוא פונקציה קדומה של הפונקציה החיצונית, מופעלת על אותו ביטוי. את התשובה בודקים תמיד בגזירה.

בחקירת מכפלה של פולינום ושל פונקציה מעריכית גוזרים לפי כלל המכפלה ומוציאים את החזקה של אִי כגורם משותף. החזקה של אִי תמיד חיובית, ולכן הסימן של הנגזרת הוא הסימן של הגורם השני. כשבתוך החזקה יש פונקציה מחזורית, כמו סינוס, לפונקציה יש אינסוף נקודות קיצון.

**טיפ:** באינטגרל של מכפלה או של שבר מחפשים ביטוי שהנגזרת שלו מופיעה כגורם.

## מה לומדים בנושא

### נגזרת של חזקה בכל בסיס

- דוגמה: מהי הנגזרת של הפונקציה f(x) = 2ˣ ?
- אפשרויות: אף תג של איקס שווה איקס כפול שתיים בחזקת פותחים סוגריים איקס פחות אחת סוגרים סוגריים f′(x) = x · 2^(x − 1) · אף תג של איקס שווה שתיים בחזקת איקס f′(x) = 2ˣ · אף תג של איקס שווה שתיים בחזקת איקס חלקי לֶן שתיים f′(x) = 2ˣ : ln 2 · אף תג של איקס שווה שתיים בחזקת איקס כפול לֶן שתיים f′(x) = 2ˣ · ln 2
- תשובה: אף תג של איקס שווה שתיים בחזקת איקס כפול לֶן שתיים
- פתרון: כאן 2ˣ = e^(x ln 2) , ולפי כלל השרשרת f′(x) = 2ˣ · ln 2 .

### הפונקציה ההפוכה של פונקציה מעריכית

- דוגמה: מהי הפונקציה ההפוכה של הפונקציה f(x) = e^(x + 3) + 4 ?
- אפשרויות: אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס ועוד ארבע סוגרים סוגריים פחות שלוש f⁻¹(x) = ln(x + 4) − 3 · אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס ועוד שלוש סוגרים סוגריים ועוד ארבע f⁻¹(x) = ln(x + 3) + 4 · אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס פחות ארבע סוגרים סוגריים ועוד שלוש f⁻¹(x) = ln(x − 4) + 3 · אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס פחות ארבע סוגרים סוגריים פחות שלוש f⁻¹(x) = ln(x − 4) − 3
- תשובה: אֶף הפוכה שֶׁל איקס שווה לֶן פותחים סוגריים איקס פחות ארבע סוגרים סוגריים פחות שלוש
- פתרון: מהמשוואה y = e^(x + 3) + 4 מקבלים e^(x + 3) = y − 4 , ולכן x = ln(y − 4) − 3 . מחליפים בין האותיות: f⁻¹(x) = ln(x − 4) − 3 .

### תחום ההגדרה של לוגריתם טבעי

- דוגמה: מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = ln(−2x + 5) ?
- תשובה: x < 2.5
- פתרון: הביטוי −2x + 5 חייב להיות חיובי: −2x + 5 > 0 , ולכן x < 2.5 .

### האינטגרל של נגזרת חלקי הפונקציה

- דוגמה: מהי הפונקציה הקדומה הכללית של 2x : (x² + 5) ?
- אפשרויות: אחת חלקי פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים ועוד סי 1 : (x² + 5) + C · שתיים איקס כפול לֶן פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים ועוד סי 2x · ln(x² + 5) + C · מינוס אחת חלקי פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד סי −1 : (x² + 5)² + C · לֶן פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים ועוד סי ln(x² + 5) + C
- תשובה: לֶן פותחים סוגריים איקס בריבוע ועוד חמש סוגרים סוגריים ועוד סי
- פתרון: הנגזרת של המכנה x² + 5 היא 2x , והיא המונה. המכנה תמיד חיובי, ולכן הפונקציה הקדומה היא ln(x² + 5) + C .

### האינטגרל של פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית

- דוגמה: מהו האינטגרל ∫ (2x − 3) · e^(x² − 3x) dx ? רמז: הגורם 2x − 3 הוא הנגזרת של המעריך.
- אפשרויות: אִי בחזקת פותחים סוגריים שתיים איקס פחות שלוש סוגרים סוגריים ועוד סי e^(2x − 3) + C · פותחים סוגריים שתיים איקס פחות שלוש סוגרים סוגריים כפול אִי בחזקת פותחים סוגריים איקס בריבוע פחות שלוש איקס סוגרים סוגריים ועוד סי (2x − 3) · e^(x² − 3x) + C · אִי בחזקת פותחים סוגריים איקס בריבוע פחות שלוש איקס סוגרים סוגריים חלקי פותחים סוגריים שתיים איקס פחות שלוש סוגרים סוגריים ועוד סי e^(x² − 3x) : (2x − 3) + C · אִי בחזקת פותחים סוגריים איקס בריבוע פחות שלוש איקס סוגרים סוגריים ועוד סי e^(x² − 3x) + C
- תשובה: אִי בחזקת פותחים סוגריים איקס בריבוע פחות שלוש איקס סוגרים סוגריים ועוד סי
- פתרון: לפי כלל השרשרת, הנגזרת של e^(x² − 3x) היא (2x − 3) · e^(x² − 3x) . לכן האינטגרל הוא e^(x² − 3x) + C .

### חקירת פונקציות משולבות

- דוגמה: לפונקציה הנתונה f(x) = x · e^(−4x) יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור האיקס שלה?
- תשובה: 1/4
- פתרון: הנגזרת היא f′(x) = e^(−4x) · (1 − 4x) . היא מתאפסת כאשר 1 − 4x = 0 , כלומר x = 1/4 .

## עוד לא באתר

- פונקציות חזקה עם מעריך רציונלי (הוסרו מהתוכנית)
- נפח גוף סיבוב (הוסר מהתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)