האליפסה לכיתה י״ב · 5 יח״ל

בנושא האליפסה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הצירים והמוקדים, משוואת האליפסה, סכום המרחקים מהמוקדים, האליפסה כמעגל מכווץ, אליפסה, ישר ומעגל ומקומות גאומטריים שהם אליפסות. אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות, המוקדים, שווה למספר קבוע, הגדול מהמרחק בין המוקדים. הסכום הזה שווה לאורך הציר הארוך. כשהמרכז בראשית הצירים והמוקדים על הציר האופקי, המשוואה הקנונית היא: איקס בריבוע חלקי ריבוע חצי הציר הארוך, ועוד וואי בריבוע חלקי ריבוע חצי הציר הקצר, שווה לאחת. ריבוע המרחק של מוקד מהמרכז שווה להפרש בין ריבועי חצאי הצירים. כשהמספר הגדול נמצא מתחת לוואי בריבוע, הציר הארוך אנכי והמוקדים עליו.

אפשר לקבל אליפסה גם ממעגל: מכפילים את השיעור האנכי של כל נקודה על המעגל באותו מספר חיובי הקטן מאחת. חצי הציר האופקי נשאר הרדיוס, וחצי הציר האנכי הוא הרדיוס כפול המספר. גם השטח מוכפל באותו מספר, ולכן השטח של האליפסה הוא פּי כפול המכפלה של חצאי הצירים. כדי למצוא את הנקודות המשותפות לאליפסה ולישר, מציבים את משוואת הישר במשוואת האליפסה ופותרים משוואה ריבועית: הדיסקרימיננטה קובעת אם יש שתי נקודות משותפות, אחת או אף אחת. כשפותרים מערכת של אליפסה ומעגל, מבטאים את וואי בריבוע מתוך אחת המשוואות ומציבים בשנייה. כל פתרון של איקס נותן שתי נקודות, נקודה אחת או אף נקודה, לפי הסימן של וואי בריבוע.

טיפ: סכום המרחקים מהמוקדים שווה לאורך הציר הארוך כולו, ולא לחצי שלו. חלקו אותו בשתיים כדי לקבל את חצי הציר.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

הצירים והמוקדים

לדוגמה: האליפסה x²/81 + y²/64 = 1 כתובה בצורה x² / a² + y² / b² = 1 , כאשר a ו־ b חיוביים. מהו a ?

תשובה ופתרון

התשובה: 9

כאן a² = 81 , ולכן a = 9 .

משוואת האליפסה

לדוגמה: המוקדים של אליפסה הם (3, 0) ו־ (−3, 0) , וסכום המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא 10 . מהי המשוואה של האליפסה?

תשובה ופתרון

התשובה: איקס בריבוע חלקי עשרים וחמש ועוד וואי בריבוע חלקי שש עשרה שווה אחת

כאן 2a = 10 , ולכן a = 5 ו־ b² = 25 − 9 = 16 . המשוואה היא x²/25 + y²/16 = 1 .

סכום המרחקים מהמוקדים

לדוגמה: המוקדים של האליפסה x²/25 + y²/16 = 1 הם F ו־ G . הנקודה P נמצאת על האליפסה, ו־ PF = 8 . מהו PG ?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

כאן a = 5 , ולכן PF + PG = 10 . מכאן PG = 10 − 8 = 2 .

האליפסה כמעגל מכווץ

לדוגמה: מכפילים את שיעור הוואי של כל נקודה על המעגל x² + y² = 100 באותו מספר חיובי, ומתקבלת האליפסה x²/100 + y²/49 = 1 . באיזה מספר הכפילו?

תשובה ופתרון

התשובה: 7/10

כאן a = 10 ו־ b = 7 , ולכן המספר הוא q = 7/10 .

אליפסה, ישר ומעגל

לדוגמה: נתונים האליפסה x²/36 + y²/4 = 1 והישר y = −x + 7 . כמה נקודות משותפות יש להם?

תשובה ופתרון

התשובה: אין נקודות משותפות

מציבים, מכפילים במכנה המשותף ומקבלים 40x² − 504x + 1620 = 0 . הדיסקרימיננטה היא −5184 , ולכן אין נקודות משותפות.

מקומות גאומטריים שהם אליפסות

לדוגמה: מהו המקום הגאומטרי של הנקודות שסכום המרחקים שלהן מהנקודות A(6, −5) ו־ B(0, 5) הוא 15 ?

תשובה ופתרון

התשובה: אליפסה

המרחק בין A לבין B קטן מהמספר 15 , וסכום המרחקים משתי הנקודות קבוע: התשובה היא אליפסה.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת דנדלין (העשרה) · מעגל שמרכזו אינו על ציר.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←