# האליפסה לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> האליפסה לכיתה י״ב · 5 יח״ל: הצירים והמוקדים, משוואת האליפסה, סכום המרחקים מהמוקדים, האליפסה כמעגל מכווץ ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא האליפסה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים הצירים והמוקדים, משוואת האליפסה, סכום המרחקים מהמוקדים, האליפסה כמעגל מכווץ, אליפסה, ישר ומעגל ומקומות גאומטריים שהם אליפסות.

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שסכום המרחקים שלהן משתי נקודות קבועות, המוקדים, שווה למספר קבוע, הגדול מהמרחק בין המוקדים. הסכום הזה שווה לאורך הציר הארוך. כשהמרכז בראשית הצירים והמוקדים על הציר האופקי, המשוואה הקנונית היא: איקס בריבוע חלקי ריבוע חצי הציר הארוך, ועוד וואי בריבוע חלקי ריבוע חצי הציר הקצר, שווה לאחת. ריבוע המרחק של מוקד מהמרכז שווה להפרש בין ריבועי חצאי הצירים. כשהמספר הגדול נמצא מתחת לוואי בריבוע, הציר הארוך אנכי והמוקדים עליו.

אפשר לקבל אליפסה גם ממעגל: מכפילים את השיעור האנכי של כל נקודה על המעגל באותו מספר חיובי הקטן מאחת. חצי הציר האופקי נשאר הרדיוס, וחצי הציר האנכי הוא הרדיוס כפול המספר. גם השטח מוכפל באותו מספר, ולכן השטח של האליפסה הוא פּי כפול המכפלה של חצאי הצירים.

כדי למצוא את הנקודות המשותפות לאליפסה ולישר, מציבים את משוואת הישר במשוואת האליפסה ופותרים משוואה ריבועית: הדיסקרימיננטה קובעת אם יש שתי נקודות משותפות, אחת או אף אחת. כשפותרים מערכת של אליפסה ומעגל, מבטאים את וואי בריבוע מתוך אחת המשוואות ומציבים בשנייה. כל פתרון של איקס נותן שתי נקודות, נקודה אחת או אף נקודה, לפי הסימן של וואי בריבוע.

**טיפ:** סכום המרחקים מהמוקדים שווה לאורך הציר הארוך כולו, ולא לחצי שלו. חלקו אותו בשתיים כדי לקבל את חצי הציר.

## מה לומדים בנושא

### הצירים והמוקדים

- דוגמה: האליפסה x²/81 + y²/64 = 1 כתובה בצורה x² / a² + y² / b² = 1 , כאשר a ו־ b חיוביים. מהו a ?
- תשובה: 9
- פתרון: כאן a² = 81 , ולכן a = 9 .

### משוואת האליפסה

- דוגמה: המוקדים של אליפסה הם (3, 0) ו־ (−3, 0) , וסכום המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים הוא 10 . מהי המשוואה של האליפסה?
- אפשרויות: איקס בריבוע חלקי שש עשרה ועוד וואי בריבוע חלקי עשרים וחמש שווה אחת x²/16 + y²/25 = 1 · איקס בריבוע חלקי עשרים וחמש ועוד וואי בריבוע חלקי תשע שווה אחת x²/25 + y²/9 = 1 · איקס בריבוע חלקי עשרים וחמש ועוד וואי בריבוע חלקי שלושים וארבע שווה אחת x²/25 + y²/34 = 1 · איקס בריבוע חלקי עשרים וחמש ועוד וואי בריבוע חלקי שש עשרה שווה אחת x²/25 + y²/16 = 1
- תשובה: איקס בריבוע חלקי עשרים וחמש ועוד וואי בריבוע חלקי שש עשרה שווה אחת
- פתרון: כאן 2a = 10 , ולכן a = 5 ו־ b² = 25 − 9 = 16 . המשוואה היא x²/25 + y²/16 = 1 .

### סכום המרחקים מהמוקדים

- דוגמה: המוקדים של האליפסה x²/25 + y²/16 = 1 הם F ו־ G . הנקודה P נמצאת על האליפסה, ו־ PF = 8 . מהו PG ?
- תשובה: 2
- פתרון: כאן a = 5 , ולכן PF + PG = 10 . מכאן PG = 10 − 8 = 2 .

### האליפסה כמעגל מכווץ

- דוגמה: מכפילים את שיעור הוואי של כל נקודה על המעגל x² + y² = 100 באותו מספר חיובי, ומתקבלת האליפסה x²/100 + y²/49 = 1 . באיזה מספר הכפילו? (מערכת צירים ובה מעגל ואליפסה שבתוכו, שנוגעת בו בשני קצות הציר האופקי)
- תשובה: 7/10
- פתרון: כאן a = 10 ו־ b = 7 , ולכן המספר הוא q = 7/10 .

### אליפסה, ישר ומעגל

- דוגמה: נתונים האליפסה x²/36 + y²/4 = 1 והישר y = −x + 7 . כמה נקודות משותפות יש להם?
- אפשרויות: נקודה משותפת אחת · שתי נקודות משותפות · אין נקודות משותפות
- תשובה: אין נקודות משותפות
- פתרון: מציבים, מכפילים במכנה המשותף ומקבלים 40x² − 504x + 1620 = 0 . הדיסקרימיננטה היא −5184 , ולכן אין נקודות משותפות.

### מקומות גאומטריים שהם אליפסות

- דוגמה: מהו המקום הגאומטרי של הנקודות שסכום המרחקים שלהן מהנקודות A(6, −5) ו־ B(0, 5) הוא 15 ?
- אפשרויות: פרבולה · ישר · מעגל · אליפסה
- תשובה: אליפסה
- פתרון: המרחק בין A לבין B קטן מהמספר 15 , וסכום המרחקים משתי הנקודות קבוע: התשובה היא אליפסה.

## עוד לא באתר

- הוכחת דנדלין (העשרה)
- מעגל שמרכזו אינו על ציר

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)