הצגה קוטבית, משפט דה מואבר ושורשי היחידה לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא הצגה קוטבית, משפט דה מואבר ושורשי היחידה בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים מעבר להצגה קוטבית, מעבר מהצגה קוטבית לחלק ממשי ולחלק מדומה, כפל וחילוק בהצגה קוטבית, משפט דה מואבר, שורשי היחידה ומשוואות שבהן חזקה של מספר מרוכב שווה למספר נתון. כל מספר מרוכב שאינו אפס אפשר לכתוב בהצגה קוטבית, בעזרת שני נתונים: הערך המוחלט שלו, כלומר המרחק של הנקודה שלו מראשית הצירים, והארגומנט שלו, כלומר הזווית שבין הציר הממשי החיובי לבין הקטע מהראשית אל הנקודה. הארגומנט נבחר כך שהוא לפחות אפס מעלות וקטן משלוש מאות ושישים מעלות. החלק הממשי הוא הערך המוחלט כפול הקוסינוס של הארגומנט, והחלק המדומה הוא הערך המוחלט כפול הסינוס שלו.
בכפל של שני מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית הערכים המוחלטים נכפלים והארגומנטים מתחברים, ובחילוק הערכים המוחלטים מתחלקים והארגומנטים מתחסרים. לכן כפל ביחידה המדומה מסובב את הנקודה ברבע סיבוב נגד כיוון השעון סביב הראשית, בלי לשנות את המרחק שלה מהראשית. לפי משפט דה מואבר, כדי להעלות מספר מרוכב בחזקה טבעית מעלים את הערך המוחלט שלו באותה חזקה וכופלים את הארגומנט שלו במעריך. מכאן שבמשוואה שבה חזקה של מספר מרוכב שווה למספר שאינו אפס, מספר הפתרונות שווה בדיוק למעריך. כל הפתרונות נמצאים על מעגל אחד, והם קודקודים של מצולע משוכלל. הפתרונות של המשוואה שבה החזקה שווה לאחת נקראים שורשי היחידה, וסכומם אפס. הוכחה לדוגמה: משפט דה מואבר באינדוקציה על המעריך. בסיס האינדוקציה: כשהמעריך הוא אחד, שני האגפים שווים למספר עצמו. צעד האינדוקציה: מניחים שהמשפט נכון עבור מעריך מסוים, וכופלים את שני האגפים במספר עצמו. בכפל הערכים המוחלטים נכפלים והארגומנטים מתחברים, ולכן הערך המוחלט של החזקה הבאה הוא הערך המוחלט בחזקה שגדולה באחת, והארגומנט שלה הוא הארגומנט של המספר כפול מעריך שגדול באחת. זו בדיוק הטענה עבור המעריך הבא, ולכן הטענה נכונה לכל מעריך טבעי.
טיפ: בכפל בהצגה קוטבית כופלים את הערכים המוחלטים ומחברים את הארגומנטים.
מה לומדים בנושא
מעבר להצגה קוטבית
לדוגמה: נתון המספר המרוכב z = 1 − i . מהו הערך המוחלט r של z ?
תשובה ופתרון
התשובה: √2
לפי משפט פיתגורס r² = 1 + 1 = 2 , ולכן r = √2 .
מעבר מהצגה קוטבית לחלק ממשי ולחלק מדומה
לדוגמה: נתון המספר המרוכב z = r(cos θ + i sin θ) , ובו r = 3 ו־ θ = 270° . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את z במישור גאוס?
תשובה ופתרון
התשובה: (0, −3)
כאן cos θ = 0 ו־ sin θ = −1 , ולכן הנקודה היא (0, −3) .
כפל וחילוק בהצגה קוטבית
לדוגמה: נתונים המספרים המרוכבים z = 3(cos 340° + i sin 340°) ו־ w = 3(cos 170° + i sin 170°) . מהו הארגומנט θ של z · w , כאשר 0° ≤ θ < 360° ?
תשובה ופתרון
התשובה: 150 °
הסכום הוא 340° + 170° = 510° , ובניכוי 360° מתקבל 150° . הארגומנט של z · w הוא 150° .
משפט דה מואבר
לדוגמה: מהו הארגומנט θ של המספר (cos 20° + i sin 20°)⁹ , כאשר 0° ≤ θ < 360° ?
תשובה ופתרון
התשובה: 180 °
הזווית היא 9 · 20° = 180° . הארגומנט הוא 180° .
שורשי היחידה
לדוגמה: מהי הזווית בין שני שורשים סמוכים של המשוואה z⁴ = 1 ?
תשובה ופתרון
התשובה: 90 °
השורשים מחלקים את המעגל לחלקים שווים, ולכן הזווית היא 360° : 4 = 90° .
משוואות שבהן חזקה של מספר מרוכב שווה למספר נתון
לדוגמה: כמה פתרונות יש למשוואה z⁶ = 1 ?
תשובה ופתרון
התשובה: 6
למשוואה zⁿ = w עם w ≠ 0 יש בדיוק n פתרונות, שהארגומנטים שלהם במרחק 360° : n זה מזה. כאן n = 6 , ולכן יש 6 פתרונות.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: נוסחת אוילר (העשרה) · ספירלה לוגריתמית.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).