מספרים מרוכבים בגאומטריה: מקומות גאומטריים וטרנספורמציות לכיתה י״ב · 5 יח״ל
בנושא מספרים מרוכבים בגאומטריה: מקומות גאומטריים וטרנספורמציות בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים תכונות של הערך המוחלט והצמוד, מקומות גאומטריים במישור גאוס, הזזות וסיבובים של רבע סיבוב ומתיחות וסיבובים. הערך המוחלט של ההפרש בין שני מספרים מרוכבים הוא המרחק בין הנקודות שלהם במישור גאוס. מכאן נובעים כמה חוקים: הערך המוחלט של מכפלה שווה למכפלת הערכים המוחלטים, למספר ולצמוד שלו יש אותו ערך מוחלט, והסכום של מספר והצמוד שלו הוא תמיד מספר ממשי. הערך המוחלט של סכום אינו גדול מסכום הערכים המוחלטים: זה אי השוויון של המשולש.
בעזרת מרחקים אפשר לתאר מקומות גאומטריים. כל הנקודות שהמרחק שלהן מנקודה קבועה שווה למספר קבוע יוצרות מעגל. כל הנקודות שהמרחק שלהן משתי נקודות שווה נמצאות על האנך האמצעי של הקטע ביניהן. כשסכום המרחקים משתי נקודות קבוע מתקבלת אליפסה, וכשמרחק אחד הוא כפולה קבועה של המרחק השני, שונה מאחת, מתקבל מעגל. פעולות על מספרים מרוכבים הן טרנספורמציות של המישור. הוספה של מספר קבוע היא הזזה, כפל ביחידה המדומה הוא רבע סיבוב נגד כיוון השעון סביב הראשית, וכפל במינוס אחת הוא חצי סיבוב. כפל במספר מרוכב כלשהו מסובב בזווית של הארגומנט שלו ומותח פי הערך המוחלט שלו: למשל, כפל במספר אחת ועוד היחידה המדומה מסובב בארבעים וחמש מעלות ומותח פי שורש שתיים.
טיפ: כדי למצוא איזו פעולה מעבירה נקודה לתמונה שלה, מציבים את הנקודה בכל אחת מהאפשרויות.
מה לומדים בנושא
תכונות של הערך המוחלט והצמוד
לדוגמה: איזו מהטענות הבאות נכונה?
- לכל שני מספרים מרוכבים z ו־ w מתקיים |z + w| = |z| + |w| .
- לכל מספר מרוכב z מתקיים z̅ = −z .
- המספר z − z̅ ממשי לכל מספר מרוכב z .
- המספר z + z̅ ממשי לכל מספר מרוכב z .
תשובה ופתרון
התשובה: המספר זד ועוד הצמוד של זד ממשי לכל מספר מרוכב זד .
אם z = a + bi , אז z + z̅ = 2a , והחלק המדומה מתבטל. לכן הטענה הנכונה היא: המספר z + z̅ ממשי לכל מספר מרוכב z .
מקומות גאומטריים במישור גאוס
לדוגמה: המקום הגאומטרי של הנקודות z במישור גאוס שמקיימות |z − (−4 + 5i)| = 2 הוא מעגל. מהם השיעורים של המרכז שלו?
תשובה ופתרון
התשובה: (−4, 5)
אלה כל הנקודות שהמרחק שלהן מהנקודה (−4, 5) הוא 2 , ולכן המרכז הוא (−4, 5) והרדיוס הוא 2 .
הזזות וסיבובים של רבע סיבוב
לדוגמה: כל נקודה z של מישור גאוס עוברת לנקודה z + w , כאשר w = −3 − i . מהם השיעורים של הנקודה שאליה עוברת הנקודה שמייצגת את −4 + 5i ?
תשובה ופתרון
התשובה: (−7, 4)
מחברים: הסכום (−4 + 5i) + (−3 − i) הוא −7 + 4i , והנקודה היא (−7, 4) .
מתיחות וסיבובים
לדוגמה: כל נקודה z של מישור גאוס עוברת לנקודה 2z . מהם השיעורים של הנקודה שאליה עוברת הנקודה שמייצגת את 5 − 4i ?
תשובה ופתרון
התשובה: (10, −8)
כופלים כל חלק בשתיים: מתקבל 10 − 8i , והנקודה היא (10, −8) .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחות בדרכים שונות · ספירלה גאומטרית.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).