מספרים מרוכבים: פעולות ומישור גאוס לכיתה י״ב · 5 יח״ל

בנושא מספרים מרוכבים: פעולות ומישור גאוס בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים החזקות של היחידה המדומה, חיבור, חיסור וכפל של מספרים מרוכבים, חילוק מספרים מרוכבים, שוויון של מספרים מרוכבים, הערך המוחלט והצמוד ומשוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים. המספרים המרוכבים נולדו מהרצון לפתור משוואות שאין להן פתרון בין המספרים הממשיים, כמו משוואה שבה ריבוע של מספר שווה למינוס אחת. מגדירים מספר חדש, היחידה המדומה, שהריבוע שלו הוא מינוס אחת. כל מספר מרוכב הוא סכום של חלק ממשי ושל חלק מדומה, והוא מיוצג על ידי נקודה במישור גאוס: החלק הממשי על הציר האופקי והחלק המדומה על הציר האנכי.

מחברים ומחסרים מספרים מרוכבים בנפרד בחלקים הממשיים ובחלקים המדומים, וכופלים אותם כמו ביטויים אלגבריים, כשבכל מקום שבו מופיע הריבוע של היחידה המדומה מציבים מינוס אחת. כדי לחלק, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, וכך המכנה נעשה מספר ממשי. שני מספרים מרוכבים שווים רק כאשר החלקים הממשיים שלהם שווים והחלקים המדומים שלהם שווים. הצמוד של מספר מרוכב הוא אותו מספר עם חלק מדומה נגדי, והנקודה שלו היא השיקוף בציר הממשי. הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא המרחק של הנקודה שלו מראשית הצירים, והערך המוחלט של ההפרש בין שני מספרים הוא המרחק בין הנקודות שלהם. בין המספרים המרוכבים אין סדר: אי אפשר לומר שמספר מרוכב אחד גדול מאחר. למשוואה ריבועית שהביטוי שבתוך השורש בנוסחת השורשים שלה שלילי אין פתרון ממשי, אבל יש לה שני פתרונות מרוכבים. כשהמקדמים של המשוואה ממשיים, שני הפתרונות האלה צמודים זה לזה.

טיפ: כשמחלקים במספר מרוכב, הצמוד של המכנה הופך את המכנה למספר ממשי.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

החזקות של היחידה המדומה

לדוגמה: מהו הערך של i³ ?

תשובה ופתרון

התשובה: מינוס אַיי

השארית של 3 בחלוקה בארבע היא 3 , ולכן i³ = −i .

חיבור, חיסור וכפל של מספרים מרוכבים

לדוגמה: נתון המספר המרוכב z = (9 − 7i) − (−1 + 7i) . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את z במישור גאוס?

תשובה ופתרון

התשובה: (10, −14)

מחסרים בנפרד את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים ומקבלים z = 10 − 14i . הנקודה המייצגת היא (10, −14) .

חילוק מספרים מרוכבים

לדוגמה: נתון המספר המרוכב z = 1 : (−1 + i) . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את z במישור גאוס?

תשובה ופתרון

התשובה: (−0.5, −0.5)

הצמוד של המכנה הוא −1 − i . במכנה מתקבל 2 , ובמונה −1 − i . לכן z = −0.5 − 0.5i , והנקודה המייצגת היא (−0.5, −0.5) .

שוויון של מספרים מרוכבים

לדוגמה: המספרים הממשיים x ו־ y מקיימים x + yi = (−3 + 4i)(−3 − i) . מהי הנקודה (x, y) ?

תשובה ופתרון

התשובה: (13, −9)

פותחים סוגריים ומציבים i² = −1 : המכפלה היא 13 − 9i . לכן x = 13 ו־ y = −9 , והנקודה היא (13, −9) .

הערך המוחלט והצמוד

לדוגמה: נתון המספר המרוכב z = 5 − 4i . מהו הערך המוחלט של z ?

תשובה ופתרון

התשובה: √41

כאן |z|² = 25 + 16 = 41 , ולכן |z| = √41 .

משוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים

לדוגמה: נתונה המשוואה (x − 4)² = −36 . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את הפתרון שהחלק המדומה שלו חיובי?

תשובה ופתרון

התשובה: (4, 6)

כאן x − 4 = 6i או x − 4 = −6i , ולכן x = 4 + 6i או x = 4 − 6i . לפתרון 4 + 6i יש חלק מדומה חיובי, והנקודה שלו היא (4, 6) .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הסדר על המספרים המרוכבים (אין) · המשפט היסודי של האלגברה (העשרה).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←