# מספרים מרוכבים: פעולות ומישור גאוס לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> מספרים מרוכבים: פעולות ומישור גאוס לכיתה י״ב · 5 יח״ל: החזקות של היחידה המדומה, חילוק מספרים מרוכבים ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מספרים מרוכבים: פעולות ומישור גאוס בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים החזקות של היחידה המדומה, חיבור, חיסור וכפל של מספרים מרוכבים, חילוק מספרים מרוכבים, שוויון של מספרים מרוכבים, הערך המוחלט והצמוד ומשוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים.

המספרים המרוכבים נולדו מהרצון לפתור משוואות שאין להן פתרון בין המספרים הממשיים, כמו משוואה שבה ריבוע של מספר שווה למינוס אחת. מגדירים מספר חדש, היחידה המדומה, שהריבוע שלו הוא מינוס אחת. כל מספר מרוכב הוא סכום של חלק ממשי ושל חלק מדומה, והוא מיוצג על ידי נקודה במישור גאוס: החלק הממשי על הציר האופקי והחלק המדומה על הציר האנכי.

מחברים ומחסרים מספרים מרוכבים בנפרד בחלקים הממשיים ובחלקים המדומים, וכופלים אותם כמו ביטויים אלגבריים, כשבכל מקום שבו מופיע הריבוע של היחידה המדומה מציבים מינוס אחת. כדי לחלק, כופלים את המונה ואת המכנה בצמוד של המכנה, וכך המכנה נעשה מספר ממשי. שני מספרים מרוכבים שווים רק כאשר החלקים הממשיים שלהם שווים והחלקים המדומים שלהם שווים.

הצמוד של מספר מרוכב הוא אותו מספר עם חלק מדומה נגדי, והנקודה שלו היא השיקוף בציר הממשי. הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא המרחק של הנקודה שלו מראשית הצירים, והערך המוחלט של ההפרש בין שני מספרים הוא המרחק בין הנקודות שלהם. בין המספרים המרוכבים אין סדר: אי אפשר לומר שמספר מרוכב אחד גדול מאחר.

למשוואה ריבועית שהביטוי שבתוך השורש בנוסחת השורשים שלה שלילי אין פתרון ממשי, אבל יש לה שני פתרונות מרוכבים. כשהמקדמים של המשוואה ממשיים, שני הפתרונות האלה צמודים זה לזה.

**טיפ:** כשמחלקים במספר מרוכב, הצמוד של המכנה הופך את המכנה למספר ממשי.

## מה לומדים בנושא

### החזקות של היחידה המדומה

- דוגמה: מהו הערך של i³ ?
- אפשרויות: אחת 1 · אַיי i · מינוס אחת −1 · מינוס אַיי −i
- תשובה: מינוס אַיי
- פתרון: השארית של 3 בחלוקה בארבע היא 3 , ולכן i³ = −i .

### חיבור, חיסור וכפל של מספרים מרוכבים

- דוגמה: נתון המספר המרוכב z = (9 − 7i) − (−1 + 7i) . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את z במישור גאוס?
- תשובה: (10, −14)
- פתרון: מחסרים בנפרד את החלקים הממשיים ואת החלקים המדומים ומקבלים z = 10 − 14i . הנקודה המייצגת היא (10, −14) .

### חילוק מספרים מרוכבים

- דוגמה: נתון המספר המרוכב z = 1 : (−1 + i) . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את z במישור גאוס?
- תשובה: (−0.5, −0.5)
- פתרון: הצמוד של המכנה הוא −1 − i . במכנה מתקבל 2 , ובמונה −1 − i . לכן z = −0.5 − 0.5i , והנקודה המייצגת היא (−0.5, −0.5) .

### שוויון של מספרים מרוכבים

- דוגמה: המספרים הממשיים x ו־ y מקיימים x + yi = (−3 + 4i)(−3 − i) . מהי הנקודה (x, y) ?
- תשובה: (13, −9)
- פתרון: פותחים סוגריים ומציבים i² = −1 : המכפלה היא 13 − 9i . לכן x = 13 ו־ y = −9 , והנקודה היא (13, −9) .

### הערך המוחלט והצמוד

- דוגמה: נתון המספר המרוכב z = 5 − 4i . מהו הערך המוחלט של z ? (מישור גאוס ובו הנקודה שמייצגת את המספר)
- תשובה: √41
- פתרון: כאן |z|² = 25 + 16 = 41 , ולכן |z| = √41 .

### משוואות ריבועיות עם פתרונות מרוכבים

- דוגמה: נתונה המשוואה (x − 4)² = −36 . מהם השיעורים של הנקודה המייצגת את הפתרון שהחלק המדומה שלו חיובי?
- תשובה: (4, 6)
- פתרון: כאן x − 4 = 6i או x − 4 = −6i , ולכן x = 4 + 6i או x = 4 − 6i . לפתרון 4 + 6i יש חלק מדומה חיובי, והנקודה שלו היא (4, 6) .

## עוד לא באתר

- הסדר על המספרים המרוכבים (אין)
- המשפט היסודי של האלגברה (העשרה)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)