# נקודות, קטעים וישרים: חלוקה ביחס, מרחקים ומקומות גאומטריים לכיתה י״ב · 5 יח״ל

> נקודות, קטעים וישרים: חלוקה ביחס, מרחקים ומקומות גאומטריים לכיתה י״ב · 5 יח״ל: חלוקת קטע ביחס נתון ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא נקודות, קטעים וישרים: חלוקה ביחס, מרחקים ומקומות גאומטריים בכיתה י״ב · 5 יח״ל לומדים חלוקת קטע ביחס נתון, המרחק הקצר ביותר, המרחק מנקודה לישר, ישרים מקבילים ומקומות גאומטריים שהם ישרים.

נקודה שמחלקת קטע ביחס נתון נמצאת על הקטע, והיחס בין המרחקים שלה משני הקצוות הוא היחס הנתון. אם היחס הוא שתיים לשלוש, הקטע מתחלק לחמישה חלקים שווים, והנקודה נמצאת אחרי שניים מהם: לכל שיעור של הקצה הראשון מוסיפים שתי חמישיות מההפרש בין הקצוות. המרחק בין שני עצמים הוא המרחק הקצר ביותר בין נקודה של האחד לנקודה של השני. המרחק מנקודה לישר נמדד לאורך האנך, והמרחק מנקודה שמחוץ למעגל אל המעגל הוא המרחק שלה מהמרכז פחות הרדיוס.

את המרחק מנקודה לישר מחשבים בנוסחה: כותבים את משוואת הישר כך שבאגף אחד יש אפס, מציבים באגף השני את שיעורי הנקודה, לוקחים ערך מוחלט ומחלקים בשורש של סכום הריבועים של שני המקדמים. כדי למצוא את המרחק בין שני ישרים מקבילים, בוחרים נקודה על אחד מהם ומחשבים את המרחק שלה מהשני, או כותבים את שתי המשוואות עם אותם מקדמים ומחלקים את ההפרש בין המספרים החופשיים, בערך מוחלט, באותו שורש.

מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות שמקיימות תנאי. יש מקומות גאומטריים שהם ישרים. הנקודות שבמרחק שווה משתי נקודות נמצאות על האנך האמצעי של הקטע ביניהן, הנקודות שבמרחק שווה משני ישרים מקבילים נמצאות על הישר המקביל שבאמצע ביניהם, והנקודות שבמרחק שווה משני ישרים נחתכים נמצאות על שני חוצי הזוויות שלהם. גם הקודקוד השלישי של משולש שהבסיס שלו קבוע והשטח שלו קבוע נע על שני ישרים שמקבילים לבסיס.

הוכחה לדוגמה לכך שהנקודות שנמצאות במרחק שווה משני הקצוות של קטע הן האנך האמצעי שלו: בוחרים את הצירים כך שהקטע מונח על הציר האופקי והאמצע שלו בראשית הצירים, כלומר השיעורים האופקיים של הקצוות הם מספר והמספר הנגדי לו. ריבוע המרחק של נקודה מכל קצה הוא ריבוע ההפרש בשיעור האופקי ועוד ריבוע השיעור האנכי. כשמשווים את שני הריבועים ופותחים סוגריים, כל האיברים מתבטלים חוץ מהאיבר שבו השיעור האופקי של הנקודה מוכפל בשיעור האופקי של הקצה, והוא מופיע בשני האגפים בסימנים הפוכים. לכן השיעור האופקי של הנקודה הוא אפס, וכל נקודה כזאת נמצאת על הציר האנכי. בכיוון ההפוך, כל נקודה על הציר האנכי נמצאת באותו מרחק משני הקצוות. הציר האנכי עובר דרך אמצע הקטע ומאונך לו, ולכן הוא האנך האמצעי.

**טיפ:** בשאלה על מקום גאומטרי, סמנו נקודה כללית בשיעורים שלה, כתבו את התנאי כמשוואה ופשטו אותה.

## מה לומדים בנושא

### חלוקת קטע ביחס נתון

- דוגמה: נתונות הנקודות A(2, −1) ו־ B(4, 7) . מהם השיעורים של אמצע הקטע AB ?
- תשובה: (3, 3)
- פתרון: מחשבים כל שיעור בנפרד: x = (2 + 4) : 2 = 3 ו־ y = (−1 + 7) : 2 = 3 , ולכן האמצע הוא (3, 3) .

### המרחק הקצר ביותר

- דוגמה: נתונים הישר x − y = 11 והנקודה P(5, −4) . מהם השיעורים של הנקודה על הישר הקרובה ביותר לנקודה P ?
- תשובה: (6, −5)
- פתרון: האנך לישר שעובר דרך הנקודה P הוא x + y = 1 . פותרים אותו יחד עם משוואת הישר ומקבלים x = 6 ו־ y = −5 , כלומר הנקודה (6, −5) .

### המרחק מנקודה לישר

- דוגמה: מהו המרחק מהנקודה P(0, 5) אל הישר 4x + 3y − 20 = 0 ?
- תשובה: 1
- פתרון: במונה: |4 · 0 + 3 · 5 − 20| = 5 . במכנה: √(4² + 3²) = 5 . לכן המרחק הוא 1 .

### ישרים מקבילים

- דוגמה: מהו המרחק בין הישרים המקבילים 4x + 3y − 1 = 0 ו־ 8x + 6y − 32 = 0 ?
- תשובה: 3
- פתרון: מחלקים את המשוואה השנייה בשתיים: 4x + 3y − 16 = 0 . המרחק הוא |−1 − (−16)| : 5 = 3 .

### מקומות גאומטריים שהם ישרים

- דוגמה: (שתי נקודות מסומנות במערכת צירים.) נתונות הנקודות A(7, 4) ו־ B(−5, −6) . מהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות באותו מרחק מהנקודה A ומהנקודה B ?
- אפשרויות: חמש איקס פחות שש וואי שווה אחת עשרה 5x − 6y = 11 · שש איקס ועוד חמש וואי שווה שישים ושתיים 6x + 5y = 62 · שש איקס פחות חמש וואי שווה אחת עשרה 6x − 5y = 11 · שש איקס ועוד חמש וואי שווה אחת 6x + 5y = 1
- תשובה: שש איקס ועוד חמש וואי שווה אחת
- פתרון: אמצע הקטע הוא (1, −1) , והשינוי בשיעורים מהנקודה A אל הנקודה B הוא (−12, −10) . הישר 6x + 5y = 1 עובר דרך האמצע, והוא מאונך לקטע כי המקדמים של x ושל y בו הם באותו יחס כמו −12 ו־ −10 .

## עוד לא באתר

- שני הכיוונים של הוכחת מקום גאומטרי

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-5u/)