חישובי נפחים לכיתה י״ב · 4 יח״ל
בנושא חישובי נפחים בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים נפח של מנסרה, נפח של פירמידה, הגובה בעזרת וקטורים, הגובה בעזרת פיתגורס וטריגונומטריה ובסיסים מסוגים שונים. הנפח של מנסרה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הנפח של פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הגובה הוא האורך של הקטע שיוצא מהבסיס העליון של המנסרה, או מהקודקוד של הפירמידה, ומאונך למישור הבסיס. במנסרה ישרה הגובה הוא המקצוע הצדדי, ובפירמידה ישרה הוא יורד למרכז הבסיס.
את שטח הבסיס מחשבים כמו בכיתות קודמות: מלבן ומקבילית, משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן, מעוין לפי האלכסונים, טרפז, משולש שווה צלעות ומשושה משוכלל, שבנוי משישה משולשים שווי צלעות. כשהגוף אינו ישר, מוצאים את הגובה באחת מארבע דרכים. נתונים השיעורים של שני הקצוות של הגובה. אפשר לזהות את הגובה, למשל מקצוע צדדי שמאונך לבסיס. או מראים שווקטור מאונך לשני וקטורים של הבסיס שאינם קולינאריים. או מחשבים את אורך הגובה במשולש ישר זווית, בעזרת משפט פיתגורס, הסינוס או הטנגנס. כשהבסיס נמצא במישור שבו השיעור השלישי הוא אפס, הגובה הוא השיעור השלישי של הקודקוד, גם כשהקודקוד אינו מעל הבסיס.
טיפ: כדאי לזכור את השליש: בלעדיו יוצא הנפח של מנסרה, לא של פירמידה.
מה לומדים בנושא
נפח של מנסרה
לדוגמה: בתיבה ABCDA′B′C′D′ נתון AB = 3 , BC = 7 ו־ AA′ = 11 . מהו הנפח של התיבה?
תשובה ופתרון
התשובה: 231
הבסיס הוא מלבן ששטחו 3 · 7 = 21 , ולכן הנפח הוא 21 · 11 = 231 .
נפח של פירמידה
לדוגמה: בפירמידה הישרה SABCD הבסיס הוא ריבוע שאורך צלעו 4 , והנקודה O היא מרכז הבסיס. הגובה של הפירמידה הוא SO = 12 . מהו הנפח של הפירמידה?
תשובה ופתרון
התשובה: 64
שטח הבסיס הוא 4² = 16 . לכן הנפח הוא 16 · 12 : 3 = 64 .
הגובה בעזרת וקטורים
לדוגמה: הבסיס של הפירמידה SABC הוא המשולש שקודקודיו A(0, 3, 0) , B(2, 3, 0) ו־ C(0, 7, 0) , והקודקוד שלה הוא S(6, 5, 3) . מהו הנפח של הפירמידה?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
הצלעות AB = 2 ו־ AC = 4 מאונכות זו לזו, ולכן שטח הבסיס הוא 2 · 4 : 2 = 4 . הגובה הוא 3 , והנפח הוא 4 · 3 : 3 = 4 .
הגובה בעזרת פיתגורס וטריגונומטריה
לדוגמה: בפירמידה הישרה SABCD הבסיס הוא ריבוע שאורך צלעו 18 . הנקודה M היא אמצע הצלע BC , והגובה של הפאה הצדדית הוא SM = 15 . מהו הנפח של הפירמידה?
תשובה ופתרון
התשובה: 1296
הנקודה O היא מרכז הבסיס, ולכן OM = 9 . במשולש ישר הזווית SOM הגובה הוא SO = √(15² − 9²) = 12 . לכן הנפח הוא 324 · 12 : 3 = 1296 .
בסיסים מסוגים שונים
לדוגמה: הבסיס של המנסרה הישרה ABCDA′B′C′D′ הוא מעוין שאורכי האלכסונים שלו AC = 4 ו־ BD = 12 . הגובה של המנסרה הוא AA′ = 3 . מהו הנפח של המנסרה?
תשובה ופתרון
התשובה: 72
שטח המעוין הוא חצי ממכפלת האלכסונים: 4 · 12 : 2 = 24 . לכן הנפח הוא 24 · 3 = 72 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: נפח של גוף מורכב משני גופים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).