וקטורים לכיתה י״ב · 4 יח״ל
בנושא וקטורים בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים מהו וקטור, חיבור וחיסור של וקטורים, וקטורים קולינאריים, צירוף של וקטורים, וקטורים במערכת צירים ופעולות בהצגה אלגברית. וקטור הוא גודל שיש לו אורך וכיוון, ומסמנים אותו בחץ. שני וקטורים שווים כשיש להם אותו אורך ואותו כיוון, גם אם הם לא יוצאים מאותה נקודה. במקבילית, למשל, הצלע איי בי והצלע די סי מייצגות וקטורים שווים. וקטור נגדי הוא וקטור באותו אורך ובכיוון ההפוך, וסכום של וקטור והנגדי שלו הוא וקטור האפס.
מחברים שני וקטורים לפי כלל המשולש: מניחים את תחילת השני בקצה של הראשון, והסכום הוא החץ מתחילת הראשון אל קצה השני. לפי כלל המקבילית, שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה, והסכום הוא אלכסון המקבילית שהם בונים. חיסור הוא חיבור של הנגדי. החיבור חילופי וקיבוצי, למשל סכום של שלושה וקטורים לא תלוי בסדר החיבור, וכפל במספר מתפלג על חיבור: פעמיים הסכום של שני וקטורים שווה לסכום של הכפולות שלהם. שני וקטורים שאינם וקטור האפס הם קולינאריים כשאחד מהם הוא מכפלה של השני במספר. הם יכולים להיות באורכים שונים ובכיוונים מנוגדים. בלי הוכחה: אם שני וקטורים במישור אינם קולינאריים, אפשר לכתוב כל וקטור במישור כצירוף שלהם בדרך אחת בלבד. באותו אופן, כל וקטור במרחב הוא צירוף יחיד של שלושה וקטורים שאינם באותו מישור. במרחב יש שלושה צירים שיוצאים מראשית הצירים, ולכל נקודה שלושה שיעורים. את הווקטור מנקודה אחת לנקודה אחרת מוצאים בחיסור של שיעורי הנקודה הראשונה משיעורי השנייה, שיעור אחר שיעור. וקטורי היחידה הם וקטורים באורך אחד לאורך שלושת הצירים, וכל וקטור הוא צירוף שלהם. בהצגה אלגברית מחברים וקטורים רכיב אחר רכיב, וכופלים וקטור במספר על ידי כפל של כל רכיב.
טיפ: כדאי לבדוק כל תשובה בסרטוט: שרטטו את החצים, ובדקו שהסכום מתחיל ונגמר במקומות הנכונים.
מה לומדים בנושא
מהו וקטור
לדוגמה: במקבילית ABCD , איזה וקטור שווה לווקטור BA⃗ ?
- DC⃗
- BC⃗
- BD⃗
- CD⃗
תשובה ופתרון
התשובה: הווקטור סי די
הצלע CD מקבילה לצלע BA ושווה לה באורך, והווקטור CD⃗ פונה לאותו כיוון. לכן BA⃗ = CD⃗ .
חיבור וחיסור של וקטורים
לדוגמה: במשולש ABC , איזה וקטור שווה לסכום CB⃗ + BA⃗ ?
- AC⃗
- BC⃗
- AB⃗
- CA⃗
תשובה ופתרון
התשובה: הווקטור סי איי
הווקטור השני מתחיל בנקודה B , שבה הראשון נגמר. לפי כלל המשולש, הסכום הולך מההתחלה של הראשון עד הסוף של השני: CB⃗ + BA⃗ = CA⃗ .
וקטורים קולינאריים
לדוגמה: נתון u⃗ = 3v⃗ , ושני הווקטורים שונים מווקטור האפס. האם u⃗ ו־ v⃗ קולינאריים?
- לא, כי האורכים שלהם שונים
- לא, כי וקטורים קולינאריים חייבים להיות באותו כיוון
- לא, כי הם לא יוצאים מאותה נקודה
- כן, כי אחד מהם הוא מכפלה של השני במספר
תשובה ופתרון
התשובה: כן, כי אחד מהם הוא מכפלה של השני במספר
כאן u⃗ הוא מכפלה של v⃗ , ולכן הם קולינאריים, באותו כיוון. האורכים יכולים להיות שונים, והווקטורים לא צריכים לצאת מאותה נקודה.
צירוף של וקטורים
לדוגמה: במשולש ABC , הנקודה M היא אמצע הצלע BC . איזה ביטוי שווה לווקטור AM⃗ ?
- AB⃗ + AC⃗
- ½ · (AB⃗ − AC⃗)
- ½ · (AC⃗ − AB⃗)
- ½ · (AB⃗ + AC⃗)
תשובה ופתרון
התשובה: חצי כפול פותחים סוגריים הווקטור איי בי ועוד הווקטור איי סי סוגרים סוגריים
מגיעים לנקודה M בשתי דרכים: AM⃗ = AB⃗ + BM⃗ ו־ AM⃗ = AC⃗ + CM⃗ . הווקטורים BM⃗ ו־ CM⃗ נגדיים, ולכן בחיבור השוויונות 2 · AM⃗ = AB⃗ + AC⃗ , כלומר AM⃗ = ½ · (AB⃗ + AC⃗) .
וקטורים במערכת צירים
לדוגמה: היכן נמצאת הנקודה P(0, 0, 4) ?
- על הציר x
- על הציר y
- במישור xy
- על הציר z
תשובה ופתרון
התשובה: על הציר זד
שני שיעורים של הנקודה הם אפס, x = y = 0 , ולכן היא נמצאת על הציר z .
פעולות בהצגה אלגברית
לדוגמה: נתונים הווקטורים u⃗ = (−7, 9, −7) ו־ v⃗ = (0, 7, 4) . מהו הווקטור u⃗ + v⃗ ?
תשובה ופתרון
התשובה: (−7, 16, −3)
מחברים רכיב אחר רכיב: u⃗ + v⃗ = (−7, 16, −3) .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחות בעזרת וקטורים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).