# וקטורים לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> וקטורים לכיתה י״ב · 4 יח״ל: מהו וקטור, חיבור וחיסור של וקטורים, וקטורים קולינאריים, צירוף של וקטורים ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא וקטורים בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים מהו וקטור, חיבור וחיסור של וקטורים, וקטורים קולינאריים, צירוף של וקטורים, וקטורים במערכת צירים ופעולות בהצגה אלגברית.

וקטור הוא גודל שיש לו אורך וכיוון, ומסמנים אותו בחץ. שני וקטורים שווים כשיש להם אותו אורך ואותו כיוון, גם אם הם לא יוצאים מאותה נקודה. במקבילית, למשל, הצלע איי בי והצלע די סי מייצגות וקטורים שווים. וקטור נגדי הוא וקטור באותו אורך ובכיוון ההפוך, וסכום של וקטור והנגדי שלו הוא וקטור האפס.

מחברים שני וקטורים לפי כלל המשולש: מניחים את תחילת השני בקצה של הראשון, והסכום הוא החץ מתחילת הראשון אל קצה השני. לפי כלל המקבילית, שני הווקטורים יוצאים מאותה נקודה, והסכום הוא אלכסון המקבילית שהם בונים. חיסור הוא חיבור של הנגדי. החיבור חילופי וקיבוצי, למשל סכום של שלושה וקטורים לא תלוי בסדר החיבור, וכפל במספר מתפלג על חיבור: פעמיים הסכום של שני וקטורים שווה לסכום של הכפולות שלהם.

שני וקטורים שאינם וקטור האפס הם קולינאריים כשאחד מהם הוא מכפלה של השני במספר. הם יכולים להיות באורכים שונים ובכיוונים מנוגדים. בלי הוכחה: אם שני וקטורים במישור אינם קולינאריים, אפשר לכתוב כל וקטור במישור כצירוף שלהם בדרך אחת בלבד. באותו אופן, כל וקטור במרחב הוא צירוף יחיד של שלושה וקטורים שאינם באותו מישור.

במרחב יש שלושה צירים שיוצאים מראשית הצירים, ולכל נקודה שלושה שיעורים. את הווקטור מנקודה אחת לנקודה אחרת מוצאים בחיסור של שיעורי הנקודה הראשונה משיעורי השנייה, שיעור אחר שיעור. וקטורי היחידה הם וקטורים באורך אחד לאורך שלושת הצירים, וכל וקטור הוא צירוף שלהם. בהצגה אלגברית מחברים וקטורים רכיב אחר רכיב, וכופלים וקטור במספר על ידי כפל של כל רכיב.

**טיפ:** כדאי לבדוק כל תשובה בסרטוט: שרטטו את החצים, ובדקו שהסכום מתחיל ונגמר במקומות הנכונים.

## מה לומדים בנושא

### מהו וקטור

- דוגמה: במקבילית ABCD , איזה וקטור שווה לווקטור BA⃗ ? (מקבילית שקודקודיה מסומנים באותיות, וחץ על אחת הצלעות)
- אפשרויות: הווקטור די סי DC⃗ · הווקטור בי סי BC⃗ · הווקטור בי די BD⃗ · הווקטור סי די CD⃗
- תשובה: הווקטור סי די
- פתרון: הצלע CD מקבילה לצלע BA ושווה לה באורך, והווקטור CD⃗ פונה לאותו כיוון. לכן BA⃗ = CD⃗ .

### חיבור וחיסור של וקטורים

- דוגמה: במשולש ABC , איזה וקטור שווה לסכום CB⃗ + BA⃗ ? (משולש ששתי צלעות שלו הן חצים)
- אפשרויות: הווקטור איי סי AC⃗ · הווקטור בי סי BC⃗ · הווקטור איי בי AB⃗ · הווקטור סי איי CA⃗
- תשובה: הווקטור סי איי
- פתרון: הווקטור השני מתחיל בנקודה B , שבה הראשון נגמר. לפי כלל המשולש, הסכום הולך מההתחלה של הראשון עד הסוף של השני: CB⃗ + BA⃗ = CA⃗ .

### וקטורים קולינאריים

- דוגמה: נתון u⃗ = 3v⃗ , ושני הווקטורים שונים מווקטור האפס. האם u⃗ ו־ v⃗ קולינאריים? (שני חצים מקבילים שמייצגים את שני הווקטורים)
- אפשרויות: לא, כי האורכים שלהם שונים · לא, כי וקטורים קולינאריים חייבים להיות באותו כיוון · לא, כי הם לא יוצאים מאותה נקודה · כן, כי אחד מהם הוא מכפלה של השני במספר
- תשובה: כן, כי אחד מהם הוא מכפלה של השני במספר
- פתרון: כאן u⃗ הוא מכפלה של v⃗ , ולכן הם קולינאריים, באותו כיוון. האורכים יכולים להיות שונים, והווקטורים לא צריכים לצאת מאותה נקודה.

### צירוף של וקטורים

- דוגמה: במשולש ABC , הנקודה M היא אמצע הצלע BC . איזה ביטוי שווה לווקטור AM⃗ ? (משולש עם קטע מקודקוד לאמצע הצלע שמולו, ושתי צלעות שהן חצים)
- אפשרויות: הווקטור איי בי ועוד הווקטור איי סי AB⃗ + AC⃗ · חצי כפול פותחים סוגריים הווקטור איי בי פחות הווקטור איי סי סוגרים סוגריים ½ · (AB⃗ − AC⃗) · חצי כפול פותחים סוגריים הווקטור איי סי פחות הווקטור איי בי סוגרים סוגריים ½ · (AC⃗ − AB⃗) · חצי כפול פותחים סוגריים הווקטור איי בי ועוד הווקטור איי סי סוגרים סוגריים ½ · (AB⃗ + AC⃗)
- תשובה: חצי כפול פותחים סוגריים הווקטור איי בי ועוד הווקטור איי סי סוגרים סוגריים
- פתרון: מגיעים לנקודה M בשתי דרכים: AM⃗ = AB⃗ + BM⃗ ו־ AM⃗ = AC⃗ + CM⃗ . הווקטורים BM⃗ ו־ CM⃗ נגדיים, ולכן בחיבור השוויונות 2 · AM⃗ = AB⃗ + AC⃗ , כלומר AM⃗ = ½ · (AB⃗ + AC⃗) .

### וקטורים במערכת צירים

- דוגמה: היכן נמצאת הנקודה P(0, 0, 4) ? (שלושה צירים במרחב שיוצאים מראשית הצירים)
- אפשרויות: על הציר איקס על הציר x · על הציר וואי על הציר y · במישור איקס וואי במישור xy · על הציר זד על הציר z
- תשובה: על הציר זד
- פתרון: שני שיעורים של הנקודה הם אפס, x = y = 0 , ולכן היא נמצאת על הציר z .

### פעולות בהצגה אלגברית

- דוגמה: נתונים הווקטורים u⃗ = (−7, 9, −7) ו־ v⃗ = (0, 7, 4) . מהו הווקטור u⃗ + v⃗ ? (שלושה צירים במרחב שיוצאים מראשית הצירים)
- תשובה: (−7, 16, −3)
- פתרון: מחברים רכיב אחר רכיב: u⃗ + v⃗ = (−7, 16, −3) .

## עוד לא באתר

- הוכחות בעזרת וקטורים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)