ישרים, מישורים וגופים במרחב לכיתה י״ב · 4 יח״ל

בנושא ישרים, מישורים וגופים במרחב בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים המצב ההדדי של שני ישרים, מישורים במרחב, ישר מאונך למישור, חלקי הגוף ושטחים והאלכסון של התיבה. שני ישרים במרחב יכולים להיות במצב אחד משלושה. ישרים נחתכים נפגשים בנקודה אחת. ישרים מקבילים נמצאים במישור אחד ואינם נפגשים. ישרים מצטלבים אינם מקבילים ואינם נפגשים, ואין מישור שמכיל את שניהם. בתיבה, למשל, המקצוע איי בי והמקצוע סי סי תג מצטלבים.

מישור נקבע על ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, ישר ונקודה שאינה עליו, שני ישרים נחתכים או שני ישרים מקבילים. ישר יכול להימצא במישור, לחתוך אותו בנקודה אחת או להיות מקביל לו. שני מישורים שונים מקבילים זה לזה, או נחתכים בישר אחד, כמו שתי פאות שכנות של תיבה, שנחתכות במקצוע המשותף להן. ישר מאונך למישור כשהוא מאונך לכל ישר במישור. כדי להראות זאת, מספיק לבדוק שני ישרים נחתכים במישור. בתיבה, המקצוע איי איי תג מאונך לבסיס, כי הוא מאונך לשני מקצועות הבסיס שיוצאים מהקודקוד איי. בפירמידה ישרה, הגובה פוגש את הבסיס במרכז המעגל החוסם אותו. למנסרה יש שני בסיסים ופאות צדדיות, ובמנסרה ישרה הפאות הצדדיות הן מלבנים. שטח המעטפת של מנסרה ישרה הוא היקף הבסיס כפול הגובה, ושטח הפנים מוסיף את שני הבסיסים. האלכסון של תיבה הוא היתר במשולש ישר זווית, שהניצבים שלו הם אלכסון הבסיס והגובה.

טיפ: כדאי לסמן בסרטוט את המשולש ישר הזווית שבו נמצא הקטע המבוקש, ולחשב בו לפי משפט פיתגורס או לפי טריגונומטריה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

המצב ההדדי של שני ישרים

לדוגמה: בתיבה ABCDA′B′C′D′ , מהו המצב ההדדי של הישרים DD′ ו־ BB′ ?

תשובה ופתרון

התשובה: מקבילים

הישרים נמצאים במישור אחד ואינם נפגשים, ולכן הם מקבילים.

מישורים במרחב

לדוגמה: איזה מהנתונים קובע מישור אחד בדיוק?

תשובה ופתרון

התשובה: שני ישרים מקבילים

הנתון הנכון הוא: שני ישרים מקבילים. דרך הנתון הזה עובר מישור אחד בדיוק. דרך שני ישרים מצטלבים לא עובר אף מישור, ודרך שאר הנתונים עוברים אינסוף מישורים.

ישר מאונך למישור

לדוגמה: בתיבה ABCDA′B′C′D′ , איזה מהישרים מאונך למישור ABCD ?

תשובה ופתרון

התשובה: די די תג

המקצוע DD′ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור, CD ו־ AD , כי פאות התיבה הן מלבנים. לכן DD′ ⊥ ABCD .

חלקי הגוף ושטחים

לדוגמה: כמה קודקודים יש לתיבה ABCDA′B′C′D′ ?

תשובה ופתרון

התשובה: 8

הקודקודים של שני הבסיסים: 4 + 4 = 8 .

האלכסון של התיבה

לדוגמה: בתיבה ABCDA′B′C′D′ האורכים הם AB = 3 , BC = 4 ו־ CC′ = 12 . מהו האורך של האלכסון AC′ ?

תשובה ופתרון

התשובה: 13

אלכסון הבסיס: AC² = 3² + 4² = 25 . במשולש ישר הזווית ACC′ האלכסון הוא היתר: AC′ = √(25 + 12²) = 13 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שטח המעטפת של גוף שאינו ישר.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←