# סדרות: סכומים, הוכחות ובעיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> סדרות: סכומים, הוכחות ובעיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל: מעבר בין כלל לפי המקום לכלל נסיגה, מהסכום אל האיבר ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא סדרות: סכומים, הוכחות ובעיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים מעבר בין כלל לפי המקום לכלל נסיגה, סדרה עולה, יורדת ואיברים שליליים, מהסכום אל האיבר, הוכחה ודוגמה נגדית, תת־סדרות, בעיות מחיי היום־יום: סדרה חשבונית, בעיות מחיי היום־יום: סדרה הנדסית וסדרה שמסתתרת בכלל נסיגה.

הסכום של האיברים הראשונים קשור לאיבר הכללי: הסכום עד מקום מסוים, פחות הסכום עד המקום שלפניו, הוא האיבר שבאותו מקום. האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד. כך מוצאים מתוך נוסחת הסכום כל איבר, ואת ההפרש או המנה של הסדרה.

כדי להוכיח שסדרה היא חשבונית, מראים שההפרש בין איבר כלשהו לאיבר שלפניו הוא אותו מספר בכל מקום, ולא רק בשלושת האיברים הראשונים. כדי להוכיח שהיא הנדסית, מראים זאת על המנה. כדי להראות שסדרה אינה חשבונית או אינה הנדסית מספיקה דוגמה נגדית אחת: שני הפרשים, או שתי מנות, שאינם שווים.

האיברים במקומות האי־זוגיים של סדרה חשבונית יוצרים סדרה חשבונית שההפרש שלה כפול מההפרש המקורי. האיברים במקומות הזוגיים של סדרה הנדסית יוצרים סדרה הנדסית שהמנה שלה היא ריבוע המנה המקורית.

בבעיות מחיי היום־יום מזהים קודם את סוג הסדרה: תוספת קבועה, כמו מושבים בשורות של אולם, יוצרת סדרה חשבונית, וכפל קבוע, כמו גידול באחוזים, יוצר סדרה הנדסית. לפעמים כלל נסיגה שכופל ומחסר מסתיר סדרה הנדסית: מחסרים מכל איבר אותו מספר, ומקבלים סדרה שכל איבר בה הוא כפולה קבועה של קודמו.

**טיפ:** לפני שבוחרים נוסחה, בודקים אם עוברים מאיבר לאיבר בהוספה קבועה או בכפל קבוע.

## מה לומדים בנושא

### מעבר בין כלל לפי המקום לכלל נסיגה

- דוגמה: האיבר הכללי של סדרה הוא aₙ = −6 + 6n . איזה כלל נסיגה מגדיר את אותה סדרה?
- אפשרויות: אֵיי אחת שווה מינוס שש, אֵיי אֶן ועוד אחת שווה אֵיי אֶן ועוד שש a₁ = −6, aₙ₊₁ = aₙ + 6 · אֵיי אחת שווה אפס, אֵיי אֶן ועוד אחת שווה אֵיי אֶן פחות שש a₁ = 0, aₙ₊₁ = aₙ − 6 · אֵיי אחת שווה שש, אֵיי אֶן ועוד אחת שווה אֵיי אֶן פחות שש a₁ = 6, aₙ₊₁ = aₙ − 6 · אֵיי אחת שווה אפס, אֵיי אֶן ועוד אחת שווה אֵיי אֶן ועוד שש a₁ = 0, aₙ₊₁ = aₙ + 6
- תשובה: אֵיי אחת שווה אפס, אֵיי אֶן ועוד אחת שווה אֵיי אֶן ועוד שש
- פתרון: מציבים n = 1 : a₁ = −6 + 6 = 0 . ההפרש הוא aₙ₊₁ − aₙ = 6 , ולכן הכלל הוא a₁ = 0, aₙ₊₁ = aₙ + 6 . בשתי הצורות חמשת האיברים הראשונים הם 0, 6, 12, 18, 24 .

### סדרה עולה, יורדת ואיברים שליליים

- דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = −5 ו־ q = 1 . מה נכון לגבי הסדרה?
- אפשרויות: הסדרה עולה · הסדרה יורדת · הסדרה קבועה
- תשובה: הסדרה קבועה
- פתרון: האיברים הראשונים הם −5, −5, −5, −5 . כשהמנה היא אחת, כל האיברים שווים.

### מהסכום אל האיבר

- דוגמה: הסכום של n האיברים הראשונים בסדרה הוא Sₙ = n² + 9n . מהו האיבר הראשון בסדרה?
- תשובה: 10
- פתרון: האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד. מציבים n = 1 : S₁ = 1² + 9 · 1 = 10 .

### הוכחה ודוגמה נגדית

- דוגמה: איזה נימוק מוכיח שהסדרה aₙ = 3n + 9 היא סדרה חשבונית?
- אפשרויות: שלושת ההפרשים הראשונים הם 3 · אֵיי שתיים פחות אֵיי אחת שווה שלוש a₂ − a₁ = 3 · המנה אֵיי אֶן ועוד אחת חלקי אֵיי אֶן זהה לכל אֶן המנה aₙ₊₁ : aₙ זהה לכל n · אֵיי אֶן ועוד אחת פחות אֵיי אֶן שווה שלוש לכל אֶן aₙ₊₁ − aₙ = 3 לכל n
- תשובה: אֵיי אֶן ועוד אחת פחות אֵיי אֶן שווה שלוש לכל אֶן
- פתרון: מציבים n + 1 במקום n : aₙ₊₁ = 3(n + 1) + 9 . בחיסור של aₙ מתבטל האיבר החופשי, ולכן aₙ₊₁ − aₙ = 3 לכל n . ההפרש אינו תלוי במקום, ולכן הסדרה חשבונית. בדיקה של שלושה הפרשים בלבד אינה מראה מה קורה בהמשך.

### תת־סדרות

- דוגמה: בסדרה חשבונית a₁ = −4 ו־ d = 6 . האיברים במקומות האי־זוגיים, a₁, a₃, a₅ וכן הלאה, יוצרים סדרה חדשה. מהו ההפרש של הסדרה החדשה?
- תשובה: 12
- פתרון: ההפרש הוא 2 · 6 = 12 . למשל, האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא −4 והשני 8 , ו־ 8 − (−4) = 12 .

### בעיות מחיי היום־יום: סדרה חשבונית

- דוגמה: באולם יש 10 מושבים בשורה הראשונה, ובכל שורה יש 4 מושבים יותר מבשורה שלפניה. כמה מושבים יש בשורה ה־8?
- תשובה: 38
- פתרון: כאן a₁ = 10 ו־ d = 4 , ולכן a₈ = 10 + 7 · 4 = 38 . בשורה ה־8 יש 38 מושבים.

### בעיות מחיי היום־יום: סדרה הנדסית

- דוגמה: במיכל יש 32 ליטר מים. בכל שעה יוצאת מהמיכל מחצית מהמים שנמצאים בו. כמה ליטר מים נשארים במיכל אחרי חמש שעות?
- תשובה: 1
- פתרון: הכמויות הן 32, 16, 8, 4, 2, 1 : אחרי חמש שעות נשאר ליטר אחד.

### סדרה שמסתתרת בכלל נסיגה

- דוגמה: סדרה מוגדרת על ידי a₁ = 3 ו־ aₙ₊₁ = 3aₙ − 1 . מהו a₃ ?
- תשובה: 23
- פתרון: בזה אחר זה: a₂ = 3 · 3 − 1 = 8 , a₃ = 3 · 8 − 1 = 23 .

## עוד לא באתר

- בעיות שמובילות למשוואה ריבועית במספר האיברים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)