מכפלה סקלרית לכיתה י״ב · 4 יח״ל

בנושא מכפלה סקלרית בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים הזווית בין וקטורים, הגדרת המכפלה הסקלרית, המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית, וקטורים מאונכים, וקטור מאונך למישור ואורכים ושטחים. הזווית בין שני וקטורים היא הזווית שביניהם כשהם יוצאים מאותה נקודה. אם וקטור אחד מתחיל בקצה של השני, מזיזים אותו כך ששתי ההתחלות ייפגשו, ואז מודדים. הזווית היא בין אפס למאה ושמונים מעלות. המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מכפלת האורכים שלהם בקוסינוס של הזווית שביניהם. התוצאה היא מספר ולא וקטור. היא חיובית כשהזווית חדה, שלילית כשהזווית קהה, ואפס כשהווקטורים מאונכים. המכפלה של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך שלו.

המכפלה הסקלרית חילופית, מספר שכופל את אחד הווקטורים יוצא מהמכפלה, והיא מתפלגת על חיבור של וקטורים. את התכונות האלה מקבלים ללא הוכחה. מהן יוצאות נוסחאות הכפל המקוצר: הריבוע של סכום שני וקטורים הוא סכום ריבועי האורכים ועוד פעמיים המכפלה הסקלרית, בהפרש מחסרים פעמיים את המכפלה הסקלרית, ומכפלת הסכום בהפרש היא הפרש ריבועי האורכים. בהצגה אלגברית, המכפלה הסקלרית היא סכום המכפלות של הרכיבים המתאימים, והאורך של וקטור הוא השורש של סכום הריבועים של הרכיבים שלו. מחלקים את המכפלה במכפלת האורכים ומקבלים את הקוסינוס של הזווית בין הווקטורים. שני וקטורים שאינם וקטור האפס מאונכים זה לזה אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס. וקטור מאונך למישור כשהוא מאונך לשני וקטורים במישור שאינם קולינאריים. בעזרת המכפלה מוצאים גם אורכים של קטעים, ושטחים של משולשים ושל מקביליות.

טיפ: כדאי לבדוק את הסימן: מכפלה סקלרית שלילית אומרת שהזווית בין הווקטורים קהה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

הזווית בין וקטורים

לדוגמה: בקובייה ABCDA′B′C′D′ , מהי הזווית בין הווקטורים DC⃗ ו־ DD′⃗ ?

תשובה ופתרון

התשובה: 90 °

שני הווקטורים הם מקצועות של הקובייה שיוצאים מאותו קודקוד, והם מאונכים זה לזה. לכן הזווית ביניהם היא 90° .

הגדרת המכפלה הסקלרית

לדוגמה: נתון |u⃗| = 3 ו־ |v⃗| = 10 , והזווית בין הווקטורים היא 0° . מהי המכפלה הסקלרית u⃗ ⋅ v⃗ ?

תשובה ופתרון

התשובה: 30

מכפילים את האורכים בקוסינוס של הזווית, cos 0° = 1 : 3 · 10 · 1 = 30 .

המכפלה הסקלרית בהצגה אלגברית

לדוגמה: מהי המכפלה הסקלרית (−5, 6, −5) ⋅ (0, 5, 3) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 15

מכפילים כל רכיב ברכיב המתאים לו ומחברים את שלוש המכפלות: 0 + 30 − 15 , כלומר 15 .

וקטורים מאונכים

לדוגמה: האם הווקטורים u⃗ = (2, −3, −6) ו־ v⃗ = (6, −2, 3) מאונכים זה לזה?

לא, כי המכפלה הסקלרית שלהם אינה אפס
לא, כי האורכים שלהם שונים
כן, כי הם קולינאריים
כן, כי המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס

תשובה ופתרון

התשובה: כן, כי המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס

המכפלה הסקלרית היא 12 + 6 − 18 = 0 , ולכן הווקטורים מאונכים זה לזה.

וקטור מאונך למישור

לדוגמה: בפירמידה הישרה SABCD הבסיס הוא ריבוע, והנקודה O היא מרכז הבסיס. איזה זוג של מכפלות מוכיח כי SO⃗ מאונך למישור הבסיס?

SO⃗ ⋅ AB⃗ = 0 ו־ SO⃗ ⋅ CD⃗ = 0
SO⃗ ⋅ AC⃗ = 0 בלבד
SO⃗ ⋅ SA⃗ = 0 ו־ SO⃗ ⋅ SB⃗ = 0
SO⃗ ⋅ AB⃗ = 0 ו־ SO⃗ ⋅ AD⃗ = 0

תשובה ופתרון

התשובה: הווקטור אס או כפול הווקטור איי בי שווה אפס ו־ הווקטור אס או כפול הווקטור איי די שווה אפס

שני הווקטורים AB⃗ ו־ AD⃗ נמצאים במישור הבסיס ואינם קולינאריים, ולכן SO⃗ ⋅ AB⃗ = 0 ו־ SO⃗ ⋅ AD⃗ = 0 מוכיחים את הניצבות. וקטור אחד לא מספיק, וגם לא שני וקטורים קולינאריים.

אורכים ושטחים

לדוגמה: נתונות הנקודות A(2, 0, −2) ו־ B(−1, 1, −4) . מהו האורך של הקטע AB ?

תשובה ופתרון

התשובה: √14

הווקטור הוא AB⃗ = (−3, 1, −2) , וסכום הריבועים של הרכיבים שלו הוא 14 . לכן AB = √14 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחות בעזרת המכפלה הסקלרית.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←