# לוגריתמים ופונקציות לוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> לוגריתמים ופונקציות לוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל: הגדרת הלוגריתם, חוקי הלוגריתמים, משוואות לוגריתמיות ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא לוגריתמים ופונקציות לוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים הגדרת הלוגריתם, חוקי הלוגריתמים, תכונות הפונקציה הלוגריתמית, משוואות לוגריתמיות, אי־שוויונות לוגריתמיים וטרנספורמציות של פונקציה לוגריתמית.

לוגריתם הוא הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה. הלוגריתם בבסיס 2 של 8 הוא החזקה שצריך להעלות אליה את 2 כדי לקבל 8, כלומר 3, כי 2 בחזקת 3 הוא 8. הבסיס הוא מספר חיובי ששונה מ־1, והמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי. כשלא כתוב בסיס, הבסיס הוא 10: הלוגריתם של 1000 הוא 3.

יש שלושה חוקים. הלוגריתם של מכפלה הוא סכום הלוגריתמים, הלוגריתם של מנה הוא ההפרש ביניהם, והלוגריתם של חזקה הוא המעריך כפול הלוגריתם של הבסיס. למשל, סכום הלוגריתמים של 2 ושל 5 הוא הלוגריתם של 10, כלומר 1.

פונקציה לוגריתמית מוגדרת רק למספרים חיוביים, חותכת את הציר האופקי בנקודה (1, 0), והציר האנכי הוא האסימפטוטה שלה. כשהבסיס גדול מ־1 הפונקציה עולה, וכשהבסיס בין 0 ל־1 היא יורדת.

כדי לפתור משוואה או אי־שוויון עם לוגריתמים, מוצאים קודם את תחום ההגדרה: כל מה שבתוך לוגריתם חייב להיות חיובי. אחר כך כותבים את המשוואה כחזקה, או את שני האגפים של אי־השוויון כלוגריתמים באותו בסיס, ומשאירים רק את הפתרונות שבתחום ההגדרה. כשהבסיס בין 0 ל־1 כיוון אי־השוויון מתהפך.

**טיפ:** שוויון של לוגריתם ושוויון של חזקה אומרים אותו דבר: הלוגריתם בבסיס 2 של 8 שווה ל־3, כלומר 2 בחזקת 3 הוא 8.

## מה לומדים בנושא

### הגדרת הלוגריתם

- דוגמה: מהו הערך של log₂ 16 ?
- תשובה: 4
- פתרון: מחפשים את החזקה של 2 שהיא 16 : 2⁴ = 16 לכן log₂ 16 = 4

### חוקי הלוגריתמים

- דוגמה: מהו הערך של log₂ 24 − log₂ 3 ?
- תשובה: 3
- פתרון: לפי חוק המנה, ההפרש הוא הלוגריתם של המנה: log₂ (24 : 3) = log₂ 8 ומכיוון ש־ 2³ = 8 : log₂ 8 = 3

### תכונות הפונקציה הלוגריתמית

- דוגמה: נתונה הפונקציה: y = log₂ x מהו תחום ההגדרה שלה?
- תשובה: x > 0
- פתרון: מה שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי: x > 0

### משוואות לוגריתמיות

- דוגמה: פותרים את המשוואה: log₂ (x − 4) = 4 מהו הפתרון?
- תשובה: 20
- פתרון: תחום ההגדרה: x > 4 . כותבים את המשוואה כחזקה: x − 4 = 2⁴ = 16 x = 20 והפתרון בתחום ההגדרה.

### אי־שוויונות לוגריתמיים

- דוגמה: נתון אי־השוויון: log₂ x < 3 מהי קבוצת הפתרונות שלו?
- אפשרויות: אפס קטן מאיקס קטן או שווה לשמונה 0 < x ≤ 8 · איקס קטן משמונה x < 8 · איקס גדול או שווה לשמונה x ≥ 8 · אפס קטן מאיקס קטן משמונה 0 < x < 8
- תשובה: אפס קטן מאיקס קטן משמונה
- פתרון: תחום ההגדרה: x > 0 . כותבים את אגף ימין כלוגריתם, כי 2³ = 8 : log₂ x < log₂ 8 הבסיס גדול מ־1, ולכן הסימן נשמר: x < 8 . יחד עם תחום ההגדרה: 0 < x < 8

### טרנספורמציות של פונקציה לוגריתמית

- דוגמה: נתונה הפונקציה: y = 3 log₂ x + 2 איזה מהגרפים שלפניכם הוא הגרף שלה? גרף א: (גרף א: עקומה עולה שעוברת בנקודות (2, 0) ו־(3, 1); האסימפטוטה היא ישר אנכי שעובר בנקודה (1, 0).) גרף ב: (גרף ב: עקומה עולה שעוברת בנקודות (1, 2) ו־(2, 5); האסימפטוטה היא הציר האנכי.) גרף ג: (גרף ג: עקומה עולה שעוברת בנקודות (1, 0) ו־(2, 1); האסימפטוטה היא הציר האנכי.) גרף ד: (גרף ד: עקומה עולה שעוברת בנקודות (1, 0) ו־(2, 3); האסימפטוטה היא הציר האנכי.)
- אפשרויות: גרף א · גרף ג · גרף ד · גרף ב
- תשובה: גרף ב
- פתרון: מציבים שני ערכים בנוסחה: הגרף עובר בנקודות (1, 2) ו־ (2, 5) . זה גרף ב.

## עוד לא באתר

- שרטוט גרף של פונקציה לוגריתמית ביד

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)