בעיות גדילה ודעיכה לכיתה י״ב · 4 יח״ל
בנושא בעיות גדילה ודעיכה בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים המודל של גדילה ודעיכה, יחידת זמן אחידה, מציאת כמויות וזמנים, זמן מחצית חיים וגדילה ודעיכה בגרף. בתהליך של גדילה או דעיכה, כמות משתנה באותו יחס בכל שלב. אם הכמות גדלה ב־5 אחוזים בכל שנה, בכל שנה מכפילים אותה ב־1.05, ואם היא קטנה ב־5 אחוזים, מכפילים אותה ב־0.95. המספר שבו מכפילים נקרא המקדם.
הכמות אחרי כמה שלבים היא הכמות בהתחלה כפול המקדם בחזקת מספר השלבים. למשל, סכום של 20,000 שקלים שגדל ב־4 אחוזים בכל שנה יהיה אחרי חמש שנים בערך 24,333 שקלים. כשהשלבים ארוכים מיחידת הזמן, סופרים כמה שלבים יש בזמן הנתון: כמות שגדלה פי 2 בכל 3 שעות גדלה פי 16 בתוך 12 שעות. זמן מחצית החיים הוא הזמן שבו כמות קטנה לחצי. כדי למצוא זמן, מחפשים את מספר השלבים שנותן את הכמות. כשאין מספר שלם של שלבים שנותן אותה בדיוק, מחפשים את השלב השלם הראשון שעובר אותה.
טיפ: גדילה היא כפל במקדם גדול מ־1, ודעיכה היא כפל במקדם בין 0 ל־1.
מה לומדים בנושא
המודל של גדילה ודעיכה
לדוגמה: מספר העצים ביער אחרי t שנים הוא f(t) = f(0) · 0.95^t . בכמה אחוזים קטן מספר העצים ביער בכל שנה?
תשובה ופתרון
התשובה: 5
המקדם קטן מ־1, והירידה בכל שלב היא 1 − 0.95 = 0.05 , כלומר 5 אחוזים.
יחידת זמן אחידה
לדוגמה: מספר החיידקים בצלחת גדל פי 2 בכל 6 שעות. פי כמה יגדל מספר החיידקים בעוד 12 שעות?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
בתוך 12 שעות יש 2 פרקי זמן של 6 שעות, ולכן: 2² = 4
מציאת כמויות וזמנים
לדוגמה: היום מספר החיידקים בצלחת הוא 1,100. בכל שעה מספר החיידקים בצלחת גדל פי 2. בעוד כמה שעות מספר החיידקים בצלחת יהיה 35,200?
תשובה ופתרון
התשובה: 5
מסמנים את מספר השעות באות t : 1,100 · 2^t = 35,200 . מחלקים בכמות שבהתחלה: 2^t = 32 , וגם 2⁵ = 32 . לכן t = 5 .
זמן מחצית חיים
לדוגמה: היום משקל החומר הרדיואקטיבי בדגימה הוא 120 גרם. זמן מחצית החיים של החומר הוא 8 ימים. מה יהיה משקל החומר הרדיואקטיבי בדגימה בעוד 16 ימים?
תשובה ופתרון
התשובה: 30 גרם
בתוך 16 ימים יש 2 זמני מחצית חיים, ולכן: 120 · (½)² = 30
גדילה ודעיכה בגרף
לדוגמה: בגרף מסומנת כמות החיידקים בצלחת אחרי שעות שלמות. בכל שעה הכמות גדלה פי 2.
מה הייתה הכמות בהתחלה?תשובה ופתרון
התשובה: 115
ההתחלה היא שעה אחת לפני הנקודה הראשונה, ולכן מחלקים את הערך הראשון ב־2: 230 : 2 = 115
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: זמן שאינו מספר שלם של שלבים, בעזרת לוגריתם.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).