חזקות ופונקציות מעריכיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

בנושא חזקות ופונקציות מעריכיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים חוקי החזקות, תכונות הפונקציה המעריכית, משוואות מעריכיות, אי־שוויונות מעריכיים והזזות ושיקופים של פונקציה מעריכית. בכפל של חזקות עם אותו בסיס מחברים את המעריכים, למשל 2 בחזקת 3 כפול 2 בחזקת 4 הוא 2 בחזקת 7. בחילוק מחסירים את המעריכים, ובחזקה של חזקה כופלים אותם. כל מספר חיובי בחזקת אפס שווה ל־1, ומעריך שלילי הופך את המספר: 2 בחזקת מינוס 3 הוא אחד חלקי 8. מעריך שהוא שבר הוא שורש: המכנה הוא סדר השורש, והמונה הוא החזקה. למשל, 8 בחזקת שתיים שלישיות הוא השורש השלישי של 8, בריבוע, כלומר 4.

בפונקציה מעריכית המשתנה נמצא במעריך, והבסיס הוא מספר חיובי ששונה מ־1. הפונקציה מוגדרת לכל מספר, כל הערכים שלה חיוביים, והגרף שלה חותך את הציר האנכי בגובה 1. הציר האופקי הוא אסימפטוטה: הגרף מתקרב אליו ואף פעם לא נוגע בו. כשהבסיס גדול מ־1 הפונקציה עולה, וככל שהבסיס גדול יותר היא עולה מהר יותר מימין לציר האנכי. כשהבסיס בין 0 ל־1 הפונקציה יורדת. משמאל לציר האנכי המצב הפוך: שם הבסיס הקטן יותר נותן ערך גדול יותר. כדי לפתור משוואה מעריכית כותבים את שני האגפים כחזקות של אותו בסיס, ומשווים את המעריכים. באי־שוויון עושים אותו דבר, אבל כשהבסיס בין 0 ל־1 כיוון אי־השוויון מתהפך.

טיפ: לפני שפותרים, מחפשים בסיס משותף: 4, 8 ו־16 הם כולם חזקות של 2.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

חוקי החזקות

לדוגמה: כותבים את הביטוי כחזקה אחת: 5⁶ · 5^(−2) מהו המעריך של החזקה?

תשובה ופתרון

התשובה: 4

מחברים את המעריכים: 6 + (−2) = 4 לכן: 5⁶ · 5^(−2) = 5⁴

תכונות הפונקציה המעריכית

לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = 2ˣ מהו הערך של f(−3) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 1/8

מציבים במקום המשתנה: f(−3) = 2^(−3) = 1/8

משוואות מעריכיות

לדוגמה: פותרים את המשוואה: 2^(x − 3) = 1/32 מהו הפתרון?

תשובה ופתרון

התשובה: −2

כותבים את אגף ימין כחזקה של 2 : 2^(x − 3) = 2^(−5) משווים את המעריכים: x − 3 = −5 x = −2

אי־שוויונות מעריכיים

לדוגמה: פותרים את אי־השוויון: 2ˣ < 16 מהם כל הפתרונות?

תשובה ופתרון

התשובה: x < 4

כותבים את אגף ימין כחזקה של 2 : 2ˣ < 2⁴ הבסיס גדול מ־1, ולכן הסימן נשמר: x < 4

הזזות ושיקופים של פונקציה מעריכית

לדוגמה: נתונה הפונקציה: y = 2ˣ − 1 איזה מהגרפים שלפניכם הוא הגרף שלה? גרף א:

גרף ב: גרף ג: גרף ד:

תשובה ופתרון

התשובה: גרף א

הוספת מספר לכל הפונקציה מזיזה את הגרף למעלה או למטה, ואת האסימפטוטה איתו: y = −1 . זה גרף א.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט גרף של פונקציה מעריכית ביד · מתיחה, כיווץ וערך מוחלט של פונקציה מעריכית, שנמצאים בחזרה על משפחות הפונקציות.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←