חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

בנושא חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, עלייה, ירידה ונקודות קיצון, תחומי חיוביות ושליליות, פונקציה זוגית ואי־זוגית, אסימפטוטות והתאמת גרפים. חוקרים כאן את הפונקציה איקס כפול אִי בחזקת איקס. תחום ההגדרה הוא כל מספר, כי חזקה של אִי מוגדרת תמיד. כשאיקס שווה לאפס גם הפונקציה שווה לאפס, ולכן הגרף עובר דרך ראשית הצירים. זו נקודת החיתוך היחידה עם הצירים, כי חזקה של אִי אף פעם אינה אפס.

לפי כלל המכפלה, הנגזרת היא איקס ועוד אחת, כפול אִי בחזקת איקס. החזקה תמיד חיובית, ולכן הנגזרת שווה לאפס רק כשאיקס שווה למינוס אחת. בטבלת הסימנים של הנגזרת רואים שמשמאל למינוס אחת הנגזרת שלילית, ומימין לו היא חיובית. לכן הפונקציה יורדת עד מינוס אחת ועולה אחריו, ובנקודה שבה איקס שווה למינוס אחת יש לה מינימום. ערך המינימום הוא מינוס אחת חלקי אִי, בערך מינוס 0.37. כשאיקס קטן מאוד, המכפלה מתקרבת לאפס ואף פעם לא מגיעה אליו, ולכן ציר האיקס הוא אסימפטוטה אופקית משמאל. כשאיקס גדל מאוד, הפונקציה עולה בלי סוף. עם כל הנתונים האלה משרטטים סקיצה: הגרף צמוד לציר מתחתיו משמאל, יורד לנקודת המינימום, ואחריה עולה בתלילות דרך ראשית הצירים.

טיפ: חזקה של אִי תמיד חיובית, ולכן היא לא משנה את הסימן של מכפלה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

תחום הגדרה

לדוגמה: מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = e^(x² + 5) ?

תשובה ופתרון

התשובה: כל מספר

חזקה של אִי מוגדרת לכל מספר, מה שלא יהיה במעריך. לכן תחום ההגדרה הוא כל מספר.

נקודות חיתוך עם הצירים

לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = (x − 6) · eˣ באיזו נקודה הגרף שלה חותך את הציר האנכי?

תשובה ופתרון

התשובה: (0, −6)

מציבים אפס: f(0) = −6 · 1 = −6 , ולכן הנקודה היא (0, −6) .

עלייה, ירידה ונקודות קיצון

לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = (x + 4) · eˣ מהו ערך המשתנה בנקודת המינימום שלה?

תשובה ופתרון

התשובה: −5

לפי כלל המכפלה f′(x) = (x + 5) · eˣ . החזקה תמיד חיובית, ולכן הנגזרת שווה לאפס רק בנקודה x = −5 . משמאל לנקודה הנגזרת שלילית, ומימין לה היא חיובית. לכן יש בה מינימום.

תחומי חיוביות ושליליות

לדוגמה: נתון אי־השוויון: (x + 5) · eˣ > 0 לאילו ערכים של המשתנה הוא מתקיים?

תשובה ופתרון

התשובה: x > −5

החזקה eˣ תמיד חיובית, ולכן הסימן הוא הסימן של הסוגריים: x + 5 > 0 , כלומר x > −5

פונקציה זוגית ואי־זוגית

לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = e^(−2x²) האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?

תשובה ופתרון

התשובה: זוגית

מציבים מינוס איקס: f(−x) = e^(−2x²) . זה שווה לפונקציה עצמה, ולכן היא זוגית.

אסימפטוטות

לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = ln(x² − 25) באילו ערכים של המשתנה יש לגרף שלה אסימפטוטה אנכית?

תשובה ופתרון

התשובה: x = −5 או x = 5

מה שבתוך הלוגריתם שווה לאפס כאשר x² = 25 , כלומר בקצוות של תחום ההגדרה. לכן יש שתי אסימפטוטות: x = −5 וגם x = 5 .

התאמת גרפים

לדוגמה: נתונה הפונקציה: y = ln x איזה מהגרפים שלפניכם הוא הגרף שלה? גרף א:

גרף ב: גרף ג: גרף ד:

תשובה ופתרון

התשובה: גרף ב

הפונקציה מוגדרת רק למספרים חיוביים, עולה, וחותכת את הציר האופקי בנקודה (1, 0). זה גרף ב.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הנגזרת השנייה ונקודות פיתול (מחוץ לתוכנית).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←