# חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל: תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, אסימפטוטות ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, עלייה, ירידה ונקודות קיצון, תחומי חיוביות ושליליות, פונקציה זוגית ואי־זוגית, אסימפטוטות והתאמת גרפים.

חוקרים כאן את הפונקציה איקס כפול אִי בחזקת איקס. תחום ההגדרה הוא כל מספר, כי חזקה של אִי מוגדרת תמיד. כשאיקס שווה לאפס גם הפונקציה שווה לאפס, ולכן הגרף עובר דרך ראשית הצירים. זו נקודת החיתוך היחידה עם הצירים, כי חזקה של אִי אף פעם אינה אפס.

לפי כלל המכפלה, הנגזרת היא איקס ועוד אחת, כפול אִי בחזקת איקס. החזקה תמיד חיובית, ולכן הנגזרת שווה לאפס רק כשאיקס שווה למינוס אחת. בטבלת הסימנים של הנגזרת רואים שמשמאל למינוס אחת הנגזרת שלילית, ומימין לו היא חיובית.

לכן הפונקציה יורדת עד מינוס אחת ועולה אחריו, ובנקודה שבה איקס שווה למינוס אחת יש לה מינימום. ערך המינימום הוא מינוס אחת חלקי אִי, בערך מינוס 0.37.

כשאיקס קטן מאוד, המכפלה מתקרבת לאפס ואף פעם לא מגיעה אליו, ולכן ציר האיקס הוא אסימפטוטה אופקית משמאל. כשאיקס גדל מאוד, הפונקציה עולה בלי סוף. עם כל הנתונים האלה משרטטים סקיצה: הגרף צמוד לציר מתחתיו משמאל, יורד לנקודת המינימום, ואחריה עולה בתלילות דרך ראשית הצירים.

**טיפ:** חזקה של אִי תמיד חיובית, ולכן היא לא משנה את הסימן של מכפלה.

## מה לומדים בנושא

### תחום הגדרה

- דוגמה: מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = e^(x² + 5) ?
- אפשרויות: איקס גדול מאפס x > 0 · איקס שונה מאפס x ≠ 0 · איקס גדול או שווה לאפס x ≥ 0 · כל מספר
- תשובה: כל מספר
- פתרון: חזקה של אִי מוגדרת לכל מספר, מה שלא יהיה במעריך. לכן תחום ההגדרה הוא כל מספר.

### נקודות חיתוך עם הצירים

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = (x − 6) · eˣ באיזו נקודה הגרף שלה חותך את הציר האנכי?
- תשובה: (0, −6)
- פתרון: מציבים אפס: f(0) = −6 · 1 = −6 , ולכן הנקודה היא (0, −6) .

### עלייה, ירידה ונקודות קיצון

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = (x + 4) · eˣ מהו ערך המשתנה בנקודת המינימום שלה?
- תשובה: −5
- פתרון: לפי כלל המכפלה f′(x) = (x + 5) · eˣ . החזקה תמיד חיובית, ולכן הנגזרת שווה לאפס רק בנקודה x = −5 . משמאל לנקודה הנגזרת שלילית, ומימין לה היא חיובית. לכן יש בה מינימום.

### תחומי חיוביות ושליליות

- דוגמה: נתון אי־השוויון: (x + 5) · eˣ > 0 לאילו ערכים של המשתנה הוא מתקיים?
- תשובה: x > −5
- פתרון: החזקה eˣ תמיד חיובית, ולכן הסימן הוא הסימן של הסוגריים: x + 5 > 0 , כלומר x > −5

### פונקציה זוגית ואי־זוגית

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = e^(−2x²) האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
- אפשרויות: אי־זוגית · לא זוגית ולא אי־זוגית · זוגית
- תשובה: זוגית
- פתרון: מציבים מינוס איקס: f(−x) = e^(−2x²) . זה שווה לפונקציה עצמה, ולכן היא זוגית.

### אסימפטוטות

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = ln(x² − 25) באילו ערכים של המשתנה יש לגרף שלה אסימפטוטה אנכית?
- תשובה: x = −5 או x = 5
- פתרון: מה שבתוך הלוגריתם שווה לאפס כאשר x² = 25 , כלומר בקצוות של תחום ההגדרה. לכן יש שתי אסימפטוטות: x = −5 וגם x = 5 .

### התאמת גרפים

- דוגמה: נתונה הפונקציה: y = ln x איזה מהגרפים שלפניכם הוא הגרף שלה? גרף א: (גרף א: עקומה יורדת מעל הציר האופקי, שחותכת את הציר האנכי בגובה 1 ומתקרבת לציר האופקי מימין.) גרף ב: (גרף ב: עקומה עולה שנמצאת כולה מימין לציר האנכי, חותכת את הציר האופקי בנקודה (1, 0) ויורדת בתלילות ליד הציר האנכי.) גרף ג: (גרף ג: עקומה יורדת מתחת לציר האופקי, שחותכת את הציר האנכי בגובה מינוס 1 ומתקרבת לציר האופקי משמאל.) גרף ד: (גרף ד: עקומה עולה מעל הציר האופקי, שחותכת את הציר האנכי בגובה 1 ומתקרבת לציר האופקי משמאל.)
- אפשרויות: גרף א · גרף ג · גרף ד · גרף ב
- תשובה: גרף ב
- פתרון: הפונקציה מוגדרת רק למספרים חיוביים, עולה, וחותכת את הציר האופקי בנקודה (1, 0). זה גרף ב.

## עוד לא באתר

- הנגזרת השנייה ונקודות פיתול (מחוץ לתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)