אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל
בנושא אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים פונקציה קדומה, פונקציה קדומה דרך נקודה, האינטגרל המסוים, השטח בין גרף לציר, השטח בין שני גרפים ומציאת פרמטר. ארבעה אינטגרלים חדשים מצטרפים כאן. האינטגרל של אִי בחזקת איקס הוא אִי בחזקת איקס, ועוד קבוע. האינטגרל של אחד חלקי איקס הוא לֶן איקס, ועוד קבוע, כשאיקס חיובי. כשבמעריך או במכנה יש ביטוי לינארי, כמו שתיים איקס פחות אחת, מחלקים גם במקדם של איקס: האינטגרל של אִי בחזקת שתיים איקס הוא חצי אִי בחזקת שתיים איקס, והאינטגרל של אחד חלקי הביטוי שתיים איקס פחות אחת הוא חצי לֶן של אותו ביטוי.
באינטגרל מסוים מציבים בפונקציה הקדומה את שני הקצוות של הקטע. למשל, האינטגרל של אִי בחזקת איקס מאפס עד לֶן שלוש: הפונקציה הקדומה היא אִי בחזקת איקס, ובקצה העליון היא שווה לשלוש, כי אִי בחזקת לֶן שלוש הוא שלוש. בקצה התחתון היא שווה לאחת. לכן האינטגרל הוא שלוש פחות אחת, כלומר שתיים. כשהגרף מתחת לציר האיקס, האינטגרל יוצא שלילי. שטח הוא תמיד חיובי, ולכן לוקחים את הערך הנגדי של האינטגרל. כשהגרף חותך את הציר, מחלקים את התחום בנקודת החיתוך ומחשבים כל חלק בנפרד. השטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון, בין נקודות החיתוך או בין הישרים הנתונים. אם הגרפים מתחלפים באמצע, מחלקים את התחום ומחברים את השטחים.
טיפ: חזקה של אִי שהמעריך שלה הוא לֶן של מספר שווה למספר עצמו, ולכן קצוות עם לֶן נותנים מספרים פשוטים.
מה לומדים בנושא
פונקציה קדומה
לדוגמה: נתון האינטגרל ∫e^(−4x) dx . איזה מהביטויים שווה לו?
- (1 : 4) · e^(−4x) + C
- −4 · e^(−4x) + C
- e^(−4x) + C
- −(1 : 4) · e^(−4x) + C
תשובה ופתרון
התשובה: פחות פותחים סוגריים אחת חלקי ארבע סוגרים סוגריים כפול אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי
מחלקים במקדם של המשתנה במעריך, שהוא −4 : −(1 : 4) · e^(−4x) + C .
פונקציה קדומה דרך נקודה
לדוגמה: הנגזרת של הפונקציה F היא F′(x) = eˣ , וגם F(0) = 9 . מהו הקבוע C בפונקציה הקדומה F(x) = eˣ + C ?
תשובה ופתרון
התשובה: 8
האינטגרל הוא F(x) = eˣ + C . מציבים x = 0 : e⁰ + C = 9 , כלומר 1 + C = 9 , ולכן C = 8 .
האינטגרל המסוים
לדוגמה: מהו הערך של האינטגרל ∫₀¹ eˣ dx ?
- e
- e + 1
- 1 − e
- e − 1
תשובה ופתרון
התשובה: אִי פחות אחת
הפונקציה הקדומה היא eˣ , ולכן הערך הוא e − e⁰ = e − 1 .
השטח בין גרף לציר
לדוגמה: מהו השטח שבין הגרף של y = 4 : x , הציר האופקי והישרים x = 1 ו־ x = e ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
הפונקציה הקדומה היא 4 · ln x , ולכן האינטגרל הוא ∫₁ᵉ (4 : x) dx = 4 . זה השטח, כי הגרף מעל הציר.
השטח בין שני גרפים
לדוגמה: מהו השטח הכלוא בין הגרפים y = e^(2x) ו־ y = eˣ והישר x = ln 2 ?
תשובה ופתרון
התשובה: 1/2
הגרפים נפגשים כאשר x = 0 , ומשם הגרף של e^(2x) הוא העליון. השטח הוא ∫₀^(ln 2) (e^(2x) − eˣ) dx , כלומר (4 : 2 − 2) − (1 : 2 − 1) , שהוא 1/2 .
מציאת פרמטר
לדוגמה: ידוע כי ∫₀^(ln k) eˣ dx = 3 , כאשר k > 0 . מהו הערך של k ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
האינטגרל הוא e^(ln k) − e⁰ = k − 1 , ולכן k − 1 = 3 , כלומר k = 4 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: האינטגרל של לֶן איקס ושל מכפלות עם אִי (מחוץ לתוכנית).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).