# אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל: פונקציה קדומה, פונקציה קדומה דרך נקודה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים פונקציה קדומה, פונקציה קדומה דרך נקודה, האינטגרל המסוים, השטח בין גרף לציר, השטח בין שני גרפים ומציאת פרמטר.

ארבעה אינטגרלים חדשים מצטרפים כאן. האינטגרל של אִי בחזקת איקס הוא אִי בחזקת איקס, ועוד קבוע. האינטגרל של אחד חלקי איקס הוא לֶן איקס, ועוד קבוע, כשאיקס חיובי. כשבמעריך או במכנה יש ביטוי לינארי, כמו שתיים איקס פחות אחת, מחלקים גם במקדם של איקס: האינטגרל של אִי בחזקת שתיים איקס הוא חצי אִי בחזקת שתיים איקס, והאינטגרל של אחד חלקי הביטוי שתיים איקס פחות אחת הוא חצי לֶן של אותו ביטוי.

באינטגרל מסוים מציבים בפונקציה הקדומה את שני הקצוות של הקטע. למשל, האינטגרל של אִי בחזקת איקס מאפס עד לֶן שלוש: הפונקציה הקדומה היא אִי בחזקת איקס, ובקצה העליון היא שווה לשלוש, כי אִי בחזקת לֶן שלוש הוא שלוש. בקצה התחתון היא שווה לאחת. לכן האינטגרל הוא שלוש פחות אחת, כלומר שתיים.

כשהגרף מתחת לציר האיקס, האינטגרל יוצא שלילי. שטח הוא תמיד חיובי, ולכן לוקחים את הערך הנגדי של האינטגרל. כשהגרף חותך את הציר, מחלקים את התחום בנקודת החיתוך ומחשבים כל חלק בנפרד.

השטח בין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון, בין נקודות החיתוך או בין הישרים הנתונים. אם הגרפים מתחלפים באמצע, מחלקים את התחום ומחברים את השטחים.

**טיפ:** חזקה של אִי שהמעריך שלה הוא לֶן של מספר שווה למספר עצמו, ולכן קצוות עם לֶן נותנים מספרים פשוטים.

## מה לומדים בנושא

### פונקציה קדומה

- דוגמה: נתון האינטגרל ∫e^(−4x) dx . איזה מהביטויים שווה לו?
- אפשרויות: פותחים סוגריים אחת חלקי ארבע סוגרים סוגריים כפול אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי (1 : 4) · e^(−4x) + C · מינוס ארבע כפול אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי −4 · e^(−4x) + C · אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי e^(−4x) + C · פחות פותחים סוגריים אחת חלקי ארבע סוגרים סוגריים כפול אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי −(1 : 4) · e^(−4x) + C
- תשובה: פחות פותחים סוגריים אחת חלקי ארבע סוגרים סוגריים כפול אִי בחזקת מינוס ארבע איקס, ועוד סי
- פתרון: מחלקים במקדם של המשתנה במעריך, שהוא −4 : −(1 : 4) · e^(−4x) + C .

### פונקציה קדומה דרך נקודה

- דוגמה: הנגזרת של הפונקציה F היא F′(x) = eˣ , וגם F(0) = 9 . מהו הקבוע C בפונקציה הקדומה F(x) = eˣ + C ?
- תשובה: 8
- פתרון: האינטגרל הוא F(x) = eˣ + C . מציבים x = 0 : e⁰ + C = 9 , כלומר 1 + C = 9 , ולכן C = 8 .

### האינטגרל המסוים

- דוגמה: מהו הערך של האינטגרל ∫₀¹ eˣ dx ?
- אפשרויות: אִי e · אִי ועוד אחת e + 1 · אחת פחות אִי 1 − e · אִי פחות אחת e − 1
- תשובה: אִי פחות אחת
- פתרון: הפונקציה הקדומה היא eˣ , ולכן הערך הוא e − e⁰ = e − 1 .

### השטח בין גרף לציר

- דוגמה: מהו השטח שבין הגרף של y = 4 : x , הציר האופקי והישרים x = 1 ו־ x = e ? (מערכת צירים ובה הגרף של הפונקציה, והתחום שבינו לבין הציר האופקי מסומן)
- תשובה: 4
- פתרון: הפונקציה הקדומה היא 4 · ln x , ולכן האינטגרל הוא ∫₁ᵉ (4 : x) dx = 4 . זה השטח, כי הגרף מעל הציר.

### השטח בין שני גרפים

- דוגמה: מהו השטח הכלוא בין הגרפים y = e^(2x) ו־ y = eˣ והישר x = ln 2 ? (מערכת צירים ובה שני הגרפים, והתחום הסגור שביניהם מסומן)
- תשובה: 1/2
- פתרון: הגרפים נפגשים כאשר x = 0 , ומשם הגרף של e^(2x) הוא העליון. השטח הוא ∫₀^(ln 2) (e^(2x) − eˣ) dx , כלומר (4 : 2 − 2) − (1 : 2 − 1) , שהוא 1/2 .

### מציאת פרמטר

- דוגמה: ידוע כי ∫₀^(ln k) eˣ dx = 3 , כאשר k > 0 . מהו הערך של k ?
- תשובה: 4
- פתרון: האינטגרל הוא e^(ln k) − e⁰ = k − 1 , ולכן k − 1 = 3 , כלומר k = 4 .

## עוד לא באתר

- האינטגרל של לֶן איקס ושל מכפלות עם אִי (מחוץ לתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)