נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל
בנושא נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים המספר אִי, הנגזרת של פונקציה מעריכית, הנגזרת של פונקציה לוגריתמית, נגזרת של מכפלה ושל מנה, משוואת משיק ומציאת פרמטר. המספר אִי הוא מספר מיוחד שערכו בערך 2.718. הפונקציה המעריכית שהבסיס שלה הוא המספר אִי שווה לנגזרת של עצמה: הנגזרת של אִי בחזקת איקס היא אִי בחזקת איקס. הלוגריתם שהבסיס שלו הוא המספר אִי נקרא הלוגריתם הטבעי.
הנגזרת של הלוגריתם הטבעי של איקס היא אחת חלקי איקס. כשבמעריך או בתוך הלוגריתם יש פונקציה, כופלים בנגזרת שלה: הנגזרת של אִי בחזקת שלוש איקס היא שלוש כפול אִי בחזקת שלוש איקס, והנגזרת של הלוגריתם הטבעי של איקס בריבוע ועוד אחת היא שתיים איקס חלקי איקס בריבוע ועוד אחת. הכללים של מכפלה, של מנה ושל פונקציה מורכבת הם אותם כללים שמכירים מפולינומים. הנגזרת של המכפלה איקס כפול אִי בחזקת איקס היא אִי בחזקת איקס ועוד איקס כפול אִי בחזקת איקס. הנגזרת של המנה הלוגריתם הטבעי של איקס חלקי איקס היא אחת פחות הלוגריתם הטבעי של איקס, והכול חלקי איקס בריבוע. הנגזרת של הפונקציה המורכבת אִי בחזקת איקס בריבוע היא שתיים איקס כפול אִי בחזקת איקס בריבוע. את משוואת המשיק מוצאים כמו בפולינומים: השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה. בנקודות שבהן המעריך של אִי הוא אפס, או שבתוך הלוגריתם יש אחת, החישוב פשוט: אִי בחזקת אפס הוא אחת, והלוגריתם הטבעי של אחת הוא אפס.
טיפ: אִי בחזקת אפס הוא אחת, והלוגריתם הטבעי של אחת הוא אפס. בנקודות כאלה החישוב קל.
מה לומדים בנושא
המספר אִי
לדוגמה: בין אילו שני מספרים שלמים נמצא המספר e ?
- 1 < e < 2
- 3 < e < 4
- 2 < e < 3
תשובה ופתרון
התשובה: שתיים קטן מאִי קטן משלוש
הערך של המספר הוא בערך e ≈ 2.718 , ולכן 2 < e < 3 .
הנגזרת של פונקציה מעריכית
לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = −4 · e^(4x) איזו מהפונקציות היא f′(x) ?
- −4 · e^(4x)
- 4 · e^(4x)
- −16 · e^(4x − 1)
- −16 · e^(4x)
תשובה ופתרון
התשובה: מינוס שש עשרה כפול אִי בחזקת ארבע איקס,
הנגזרת של המעריך היא 4 , ולכן כופלים בו את הפונקציה: (−4) · 4 · e^(4x) , כלומר f′(x) = −16 · e^(4x)
הנגזרת של פונקציה לוגריתמית
לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = ln(x + 6) איזו מהפונקציות היא f′(x) ?
- x : (x + 6)
- 1 : x
- 1 : (x + 6)²
- 1 : (x + 6)
תשובה ופתרון
התשובה: אחת חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים
הפונקציה שבתוך הלוגריתם היא x + 6 , והנגזרת שלה היא 1 . לכן הנגזרת היא 1 : (x + 6)
נגזרת של מכפלה ושל מנה
לדוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = x² · ln x באיזה כלל משתמשים קודם כדי לגזור אותה?
- נגזרת של מנה
- נגזרת של פונקציה מורכבת
- נגזרת של סכום
- נגזרת של מכפלה
תשובה ופתרון
התשובה: נגזרת של מכפלה
הפונקציה היא מכפלה של שני גורמים, ולכן גוזרים לפי כלל המכפלה.
משוואת משיק
לדוגמה: נתונה פונקציה: 4 ln x מהי משוואת המשיק לגרף שלה בנקודה שבה x = 1 ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4x − 4
נקודת ההשקה: f(1) = 4 ln 1 = 0 . הנגזרת היא 4 : x , ולכן השיפוע הוא f′(1) = 4 . המשיק: y = 4x − 4
מציאת פרמטר
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = a · eˣ − 5 , ונתון f(0) = 0 . מהו a ?
תשובה ופתרון
התשובה: 5
בנקודה x = 0 הערך של e⁰ הוא 1, ולכן a − 5 = 0 ומכאן a = 5 . בדיקה: 5 · 1 − 5 = 0
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הנגזרת השנייה (מחוץ לתוכנית).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).