# נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל

> נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות לכיתה י״ב · 4 יח״ל: המספר אִי, הנגזרת של פונקציה מעריכית ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא נגזרות של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות בכיתה י״ב · 4 יח״ל לומדים המספר אִי, הנגזרת של פונקציה מעריכית, הנגזרת של פונקציה לוגריתמית, נגזרת של מכפלה ושל מנה, משוואת משיק ומציאת פרמטר.

המספר אִי הוא מספר מיוחד שערכו בערך 2.718. הפונקציה המעריכית שהבסיס שלה הוא המספר אִי שווה לנגזרת של עצמה: הנגזרת של אִי בחזקת איקס היא אִי בחזקת איקס. הלוגריתם שהבסיס שלו הוא המספר אִי נקרא הלוגריתם הטבעי.

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי של איקס היא אחת חלקי איקס. כשבמעריך או בתוך הלוגריתם יש פונקציה, כופלים בנגזרת שלה: הנגזרת של אִי בחזקת שלוש איקס היא שלוש כפול אִי בחזקת שלוש איקס, והנגזרת של הלוגריתם הטבעי של איקס בריבוע ועוד אחת היא שתיים איקס חלקי איקס בריבוע ועוד אחת.

הכללים של מכפלה, של מנה ושל פונקציה מורכבת הם אותם כללים שמכירים מפולינומים. הנגזרת של המכפלה איקס כפול אִי בחזקת איקס היא אִי בחזקת איקס ועוד איקס כפול אִי בחזקת איקס. הנגזרת של המנה הלוגריתם הטבעי של איקס חלקי איקס היא אחת פחות הלוגריתם הטבעי של איקס, והכול חלקי איקס בריבוע. הנגזרת של הפונקציה המורכבת אִי בחזקת איקס בריבוע היא שתיים איקס כפול אִי בחזקת איקס בריבוע.

את משוואת המשיק מוצאים כמו בפולינומים: השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה. בנקודות שבהן המעריך של אִי הוא אפס, או שבתוך הלוגריתם יש אחת, החישוב פשוט: אִי בחזקת אפס הוא אחת, והלוגריתם הטבעי של אחת הוא אפס.

**טיפ:** אִי בחזקת אפס הוא אחת, והלוגריתם הטבעי של אחת הוא אפס. בנקודות כאלה החישוב קל.

## מה לומדים בנושא

### המספר אִי

- דוגמה: בין אילו שני מספרים שלמים נמצא המספר e ?
- אפשרויות: אחת קטן מאִי קטן משתיים 1 < e < 2 · שלוש קטן מאִי קטן מארבע 3 < e < 4 · שתיים קטן מאִי קטן משלוש 2 < e < 3
- תשובה: שתיים קטן מאִי קטן משלוש
- פתרון: הערך של המספר הוא בערך e ≈ 2.718 , ולכן 2 < e < 3 .

### הנגזרת של פונקציה מעריכית

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = −4 · e^(4x) איזו מהפונקציות היא f′(x) ?
- אפשרויות: מינוס ארבע כפול אִי בחזקת ארבע איקס, −4 · e^(4x) · ארבע כפול אִי בחזקת ארבע איקס, 4 · e^(4x) · מינוס שש עשרה כפול אִי בחזקת פותחים סוגריים ארבע איקס פחות אחת סוגרים סוגריים −16 · e^(4x − 1) · מינוס שש עשרה כפול אִי בחזקת ארבע איקס, −16 · e^(4x)
- תשובה: מינוס שש עשרה כפול אִי בחזקת ארבע איקס,
- פתרון: הנגזרת של המעריך היא 4 , ולכן כופלים בו את הפונקציה: (−4) · 4 · e^(4x) , כלומר f′(x) = −16 · e^(4x)

### הנגזרת של פונקציה לוגריתמית

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = ln(x + 6) איזו מהפונקציות היא f′(x) ?
- אפשרויות: איקס חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים x : (x + 6) · אחת חלקי איקס 1 : x · אחת חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים בריבוע 1 : (x + 6)² · אחת חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים 1 : (x + 6)
- תשובה: אחת חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים
- פתרון: הפונקציה שבתוך הלוגריתם היא x + 6 , והנגזרת שלה היא 1 . לכן הנגזרת היא 1 : (x + 6)

### נגזרת של מכפלה ושל מנה

- דוגמה: נתונה הפונקציה: f(x) = x² · ln x באיזה כלל משתמשים קודם כדי לגזור אותה?
- אפשרויות: נגזרת של מנה · נגזרת של פונקציה מורכבת · נגזרת של סכום · נגזרת של מכפלה
- תשובה: נגזרת של מכפלה
- פתרון: הפונקציה היא מכפלה של שני גורמים, ולכן גוזרים לפי כלל המכפלה.

### משוואת משיק

- דוגמה: נתונה פונקציה: 4 ln x מהי משוואת המשיק לגרף שלה בנקודה שבה x = 1 ?
- תשובה: 4x − 4
- פתרון: נקודת ההשקה: f(1) = 4 ln 1 = 0 . הנגזרת היא 4 : x , ולכן השיפוע הוא f′(1) = 4 . המשיק: y = 4x − 4

### מציאת פרמטר

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = a · eˣ − 5 , ונתון f(0) = 0 . מהו a ?
- תשובה: 5
- פתרון: בנקודה x = 0 הערך של e⁰ הוא 1, ולכן a − 5 = 0 ומכאן a = 5 . בדיקה: 5 · 1 − 5 = 0

## עוד לא באתר

- הנגזרת השנייה (מחוץ לתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-4u/)