# גאומטריה במרחב: נפח ושטח פנים לכיתה י״ב · 3 יח״ל

> גאומטריה במרחב: נפח ושטח פנים לכיתה י״ב · 3 יח״ל: משמעות הנפח ושטח הפנים, תיבה וקובייה, פירמידה וחרוט ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא גאומטריה במרחב: נפח ושטח פנים בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים משמעות הנפח ושטח הפנים, תיבה וקובייה, מנסרה משולשת וגליל, פירמידה וחרוט, כדור, ממד חסר, שינוי ממדים, השוואה והחלטה ויחידות נפח ושטח.

נפח של גוף הוא כמה קוביות של יחידה אחת נכנסות בו, ושטח הפנים שלו הוא סכום השטחים של כל הפאות שלו. נפח של תיבה הוא האורך כפול הרוחב כפול הגובה. נפח של מנסרה ושל גליל הוא שטח הבסיס כפול הגובה, ונפח של פירמידה ושל חרוט הוא שליש מזה. השטח הצדדי הוא שטח הפנים בלי הבסיסים.

נפח של כדור הוא ארבעה שלישים פאי כפול הרדיוס בחזקת שלוש, ושטח הפנים שלו הוא ארבעה פאי כפול הרדיוס בריבוע. כשאורך שאינו נתון חסר, מוצאים אותו ממשולש ישר זווית בעזרת משפט פיתגורס, או מציבים את הנתונים בנוסחה ופותרים משוואה. כשכל הממדים גדלים פי מספר מסוים, השטח גדל פי המספר בריבוע, והנפח גדל פי המספר בחזקת שלוש.

יחידות הנפח הן סמ״ק ומ״ק, ויחידות השטח הן סמ״ר ומ״ר. מטר הוא מאה ס״מ, ולכן מטר רבוע הוא עשרת אלפים סמ״ר ומטר מעוקב הוא מיליון סמ״ק. ליטר הוא אלף סמ״ק, ובמטר מעוקב יש אלף ליטר. כדי להחליט איזה כלי מכיל יותר, או איזו קופסה דורשת פחות חומר, מחשבים את הנפח או את שטח הפנים של כל אחד ומשווים.

**טיפ:** לפני כל חישוב שואלים אם צריך למלא את הגוף או לעטוף אותו: מילוי הוא נפח, ועטיפה היא שטח פנים.

## מה לומדים בנושא

### משמעות הנפח ושטח הפנים

- דוגמה: כדי לדעת כמה חול נכנס לארגז, מה צריך לחשב?
- אפשרויות: שטח הפנים · שטח המעטפת · שטח הבסיס · הנפח
- תשובה: הנפח
- פתרון: הנפח מודד כמה מקום יש בתוך הגוף, כלומר כמה הוא מכיל. לכן מחשבים את הנפח.

### תיבה וקובייה

- דוגמה: (תיבה שאורכי המקצועות שלה 12, 3 ו־7) לתיבה אורך 12 ס״מ, רוחב 3 ס״מ וגובה 7 ס״מ. מהו נפח התיבה, בסמ״ק?
- תשובה: 252 סמ״ק
- פתרון: הנפח הוא אורך כפול רוחב כפול גובה: 12 · 3 · 7 = 252 .

### מנסרה משולשת וגליל

- דוגמה: (גליל. הרדיוס של הבסיס 6, והגובה 2.) לגליל רדיוס 6 ס״מ וגובה 2 ס״מ. מה נפח הגליל? כתבו את התשובה כמכפלה של π .
- תשובה: 72π
- פתרון: שטח הבסיס הוא π × 6² = 36π , וכפול הגובה: 36π × 2 = 72π . נפח הגליל 72π סמ״ק.

### פירמידה וחרוט

- דוגמה: (פירמידה שבסיסה ריבוע, הצלע 12 והגובה 6) הבסיס של פירמידה ישרה הוא ריבוע שצלעו 12 ס״מ, וגובה הפירמידה 6 ס״מ. מהו נפח הפירמידה, בסמ״ק?
- תשובה: 288 סמ״ק
- פתרון: שטח הבסיס: 12² = 144 . הנפח: 144 · 6 : 3 = 288 .

### כדור

- דוגמה: (ציור של כדור שלם) רדיוס של כדור הוא 3 ס״מ. מהו נפח הכדור, בסמ״ק? כתבו את התשובה כמכפלה של π .
- תשובה: 36π
- פתרון: מציבים בנוסחת הנפח: 4π · 3³ : 3 = 36π .

### ממד חסר

- דוגמה: נפח של תיבה הוא 180 סמ״ק. הבסיס שלה מלבן שצלעותיו 3 ס״מ ו־15 ס״מ. מהו גובה התיבה?
- תשובה: 4 ס״מ
- פתרון: שטח הבסיס: 3 · 15 = 45 . הנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה, ולכן הגובה הוא 180 : 45 = 4 .

### שינוי ממדים

- דוגמה: הגובה של תיבה גדל פי 2, ושני הממדים האחרים לא השתנו. פי כמה גדל נפח התיבה?
- תשובה: 2
- פתרון: הנפח הוא מכפלת שלושת הממדים. כשאחד מהם גדל פי 2, גם המכפלה גדלה פי 2.

### השוואה והחלטה

- דוגמה: כלי א הוא תיבה של 2 ס״מ על 2 ס״מ על 2 ס״מ. כלי ב הוא גליל שקוטר הבסיס שלו 2 ס״מ וגובהו 2 ס״מ. איזה כלי מכיל יותר? חשבו עם π ≈ 3.14 .
- אפשרויות: כלי ב · כלי א
- תשובה: כלי א
- פתרון: נפח התיבה: 2 · 2 · 2 = 8 . רדיוס הגליל 1 ס״מ, ונפחו 3.14 · 1² · 2 = 6.28 . לכן כלי א מכיל יותר.

### יחידות נפח ושטח

- דוגמה: כמה סמ״ר יש ב־39 מ״ר?
- תשובה: 390000
- פתרון: מטר הוא 100 ס״מ, ולכן במטר רבוע אחד יש 100 · 100 = 10000 סמ״ר. לכן כופלים: 39 · 10000 = 390000 .

## עוד לא באתר

- זוויות בין ישרים ומישורים
- פירמידה קטומה וגופים מורכבים
- הוכחות במרחב

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 3 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-3u/)