# המודל הריבועי לכיתה י״ב · 3 יח״ל

> המודל הריבועי לכיתה י״ב · 3 יח״ל: קשר בין המקדמים לפרבולה, התאמת נוסחה לגרף, קריאת גרף בהקשר ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא המודל הריבועי בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים קשר בין המקדמים לפרבולה, התאמת נוסחה לגרף, קריאת גרף בהקשר, נקודות החיתוך עם ציר האיקס ומודל ריבועי לסיטואציה.

הגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה. אם המקדם של איקס בריבוע חיובי, הפרבולה נפתחת כלפי מעלה והקודקוד שלה הוא נקודת מינימום. אם המקדם שלילי, היא נפתחת כלפי מטה והקודקוד הוא נקודת מקסימום. המקדם החופשי הוא הגובה שבו הגרף חותך את ציר הוואי, ושיעור האיקס של הקודקוד הוא מינוס המקדם של איקס, חלקי פעמיים המקדם של איקס בריבוע.

נקודות החיתוך של הגרף עם ציר האיקס הן הפתרונות של המשוואה שבה הפונקציה שווה לאפס, ופותרים אותה בנוסחת השורשים. שיעור האיקס של הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שיעורי האיקס של שתי נקודות החיתוך. לכל נקודה על הפרבולה יש נקודה סימטרית מהצד השני של ציר הסימטריה, באותו גובה.

במודל ריבועי של סיטואציה, כמו הגובה של כדור לפי הזמן או סכום כולל לפי מספר המשתתפים, לא לכל פתרון יש משמעות. זמן, מספר של אנשים ומחיר אינם שליליים, ולכן פתרון שלילי נפסל, והגרף מתאר את הסיטואציה רק בתחום שבו יש לה משמעות. הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר של המודל נמצא בקודקוד.

**טיפ:** לפני שבוחרים תשובה, בודקים אם יש לה משמעות בסיטואציה: זמן שלילי או מספר שלילי של אנשים נפסלים.

## מה לומדים בנושא

### קשר בין המקדמים לפרבולה

- דוגמה: האם הקודקוד של הפרבולה y = −2x² + 7 הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום?
- אפשרויות: נקודת מינימום · נקודת מקסימום
- תשובה: נקודת מקסימום
- פתרון: המקדם של האיבר הריבועי הוא −2 , שלילי: הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא נקודת מקסימום.

### התאמת נוסחה לגרף

- דוגמה: נתונה הפונקציה y = −x² − 4x − 7 . איזה משלושת הגרפים הוא הגרף שלה? גרף א: (גרף א: פרבולה שנפתחת כלפי מטה, הקודקוד שלה בנקודה שבה האיקס שווה מינוס 2, והיא חותכת את ציר הוואי בגובה מינוס 7) גרף ב: (גרף ב: פרבולה שנפתחת כלפי מעלה, הקודקוד שלה בנקודה שבה האיקס שווה 2, והיא חותכת את ציר הוואי בגובה מינוס 7) גרף ג: (גרף ג: פרבולה שנפתחת כלפי מטה, הקודקוד שלה בנקודה שבה האיקס שווה מינוס 2, והיא חותכת את ציר הוואי בגובה מינוס 9)
- אפשרויות: גרף ב · גרף ג · גרף א
- תשובה: גרף א
- פתרון: הפרבולה נפתחת כלפי מטה, ולכן המקדם של האיקס בריבוע שלילי. היא חותכת את ציר הוואי בנקודה (0, −7) , והקודקוד שלה בנקודה שבה x = −2 . זה גרף א.

### קריאת גרף בהקשר

- דוגמה: דגם של טיל משוגר כלפי מעלה. בגרף מתואר הגובה של הטיל, y , במטרים, לפי הזמן x , בשניות. (גרף של הגובה של הטיל לפי הזמן: קשת של פרבולה שמתחילה בגובה 0 מטרים, עולה עד הקודקוד המסומן שבו הזמן שנייה אחת והגובה 5 מטרים, ויורדת עד ציר הזמן) מהו הגובה הגדול ביותר שאליו הטיל מגיע?
- תשובה: 5 מ׳
- פתרון: הנקודה הגבוהה ביותר בגרף היא הקודקוד המסומן, בזמן x = 1 ובגובה y = 5 . לכן הטיל מגיע לגובה של 5 מטרים.

### נקודות החיתוך עם ציר האיקס

- דוגמה: מהם הפתרונות של המשוואה 2x² + 2x − 4 = 0 ?
- תשובה: x = −2 או x = 1
- פתרון: לפי נוסחת השורשים, הדיסקרימיננטה שווה 36 והשורש שלה הוא 6 . מתקבל x = −2 או x = 1 . אלה שיעורי האיקס של נקודות החיתוך של הגרף עם ציר האיקס.

### מודל ריבועי לסיטואציה

- דוגמה: קבוצה של 10 חברים יוצאת לטיול, וכל אחד משלם 40 ₪. על כל חבר נוסף שמצטרף, המחיר לכל אחד יורד ב־4 ₪. איזו מהנוסחאות הבאות נותנת את הסכום הכולל y כאשר מצטרפים x חברים נוספים?
- אפשרויות: וואי שווה פותחים סוגריים עשר פחות איקס סוגרים סוגריים פותחים סוגריים ארבעים פחות ארבע איקס סוגרים סוגריים y = (10 − x)(40 − 4x) · וואי שווה פותחים סוגריים עשר ועוד איקס סוגרים סוגריים פותחים סוגריים ארבעים ועוד ארבע איקס סוגרים סוגריים y = (10 + x)(40 + 4x) · וואי שווה ארבע מאות פחות ארבע איקס y = 400 − 4x · וואי שווה פותחים סוגריים עשר ועוד איקס סוגרים סוגריים פותחים סוגריים ארבעים פחות ארבע איקס סוגרים סוגריים y = (10 + x)(40 − 4x)
- תשובה: וואי שווה פותחים סוגריים עשר ועוד איקס סוגרים סוגריים פותחים סוגריים ארבעים פחות ארבע איקס סוגרים סוגריים
- פתרון: מספר החברים הוא 10 + x , והמחיר לכל אחד הוא 40 − 4x . לכן y = (10 + x)(40 − 4x) .

## עוד לא באתר

- שרטוט פרבולה ביד
- הסבר מילולי של המודל
- משוואה ריבועית עם מכנה אלגברי

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 3 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-3u/)