התפלגות נורמלית לכיתה י״ב · 3 יח״ל

בנושא התפלגות נורמלית בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים זיהוי העקומה הנורמלית, קריאת תרשים ההתפלגות, אחוז הקבוצה בעלת התכונה, הערך מתוך האחוז, סימטריה, ממוצע וסטיית תקן מתוך אחוזים, ציון תקן והשוואה בין שתי אוכלוסיות. בהתפלגות נורמלית העקומה היא פעמון סימטרי סביב הממוצע: השיא שלה מעל הממוצע, והממוצע, החציון והשכיח שווים. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, הפעמון רחב ונמוך יותר והערכים מפוזרים יותר. עקומה עם שני שיאים, עם ראש שטוח או עם זנב ארוך לצד אחד אינה נורמלית.

בתרשים ההתפלגות מסמנים על הציר את הממוצע ואת הערכים שרחוקים ממנו בכל פעם בחצי סטיית תקן, לשני הצדדים. בכל רצועה שבין שני סימונים סמוכים רשום, לפי התרשים, החלק מהערכים שנמצא בה באחוזים: תשעה עשר נקודה אחת אחוזים בכל אחת משתי הרצועות שליד הממוצע, ואחריהן חמישה עשר, תשעה נקודה שתיים, ארבעה נקודה ארבע, אחד נקודה שבע ואפס נקודה חמש. מחברים רצועות כדי למצוא את החלק שמעל ערך, מתחתיו או בין שני ערכים, ומתוך חלק נתון מוצאים את הערך, את הממוצע או את סטיית התקן. ציון התקן של ערך הוא ההפרש בינו לבין הממוצע, חלקי סטיית התקן. הוא אומר כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון: ציון חיובי הוא ערך מעל הממוצע, וציון שלילי הוא ערך מתחתיו. בעזרת ציוני תקן משווים ערכים משתי אוכלוסיות נפרדות: ערך עם ציון תקן גבוה יותר נמצא במקום גבוה יותר ביחס לאוכלוסייה שלו.

טיפ: בכל שאלה מסמנים קודם על התרשים את האזור המבוקש, ורק אחר כך מחברים את הרצועות שבו.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

זיהוי העקומה הנורמלית

לדוגמה: לפניכם ארבע עקומות. עקומה א:

עקומה ב: עקומה ג: עקומה ד: איזו עקומה מתארת התפלגות נורמלית?

תשובה ופתרון

התשובה: עקומה ד

לעקומה ד יש שיא מעוגל אחד באמצע, והיא סימטרית סביבו, ולכן היא מתארת התפלגות נורמלית. לאחת העקומות האחרות יש ראש שטוח, לאחת שני שיאים, ואחת אינה סימטרית.

קריאת תרשים ההתפלגות

לדוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. בתרשים רשום החלק מהערכים, באחוזים, בכל רצועה של חצי סטיית תקן.

מהו הערך שנמצא שתיים וחצי סטיות תקן מעל הממוצע?

תשובה ופתרון

התשובה: 84

כל סימון על הציר רחוק חצי סטיית תקן מהסימון שלידו. הערך המבוקש הוא 74 + 2.5 · 4 = 84 , כלומר 84.

אחוז הקבוצה בעלת התכונה

לדוגמה: השכר לשעה של העובדים בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע 45 ₪ וסטיית תקן 4 ₪.

לכמה אחוזים מהעובדים יש שכר לשעה של פחות מ־37 ₪?

תשובה ופתרון

התשובה: 2.3%

לפי התרשים, מתחת ל־37 נמצאים הזנב 0.1 והרצועות 0.5 ו־1.7, ובסך הכול 2.3 אחוזים.

הערך מתוך האחוז

לדוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4.

בערך ל־98 אחוזים מהתלמידים יש ציון של יותר מערך מסוים. מהו הערך הזה?

תשובה ופתרון

התשובה: 66

מעל ערך שנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע נמצאים בערך 98 אחוזים (לפי התרשים 97.7 אחוזים). לכן הערך הוא 74 − 2 · 4 = 66 , כלומר 66.

סימטריה

לדוגמה: השכר לשעה של העובדים בחברה מתפלג נורמלית, והשכיח שלו הוא 59 ₪. לשליש מהעובדים יש שכר לשעה של יותר מ־60 ₪. לאיזה חלק מהעובדים יש שכר לשעה בין 58 ₪ לבין 60 ₪?

תשובה ופתרון

התשובה: 1/3

הערכים 58 ₪ ו־60 ₪ רחוקים באותו מרחק, 1 ₪, מהשכיח 59 ₪, שהוא גם הממוצע, ולכן מתחת ל־58 ₪ יש אותו חלק כמו מעל 60 ₪. מעל 60 ₪ יש שליש ומתחת ל־58 ₪ יש שליש, ולכן ביניהם נשאר שליש: 1/3 .

ממוצע וסטיית תקן מתוך אחוזים

לדוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74. ידוע כי בערך ל־7 אחוזים מהתלמידים יש ציון של יותר מ־80. מהי סטיית התקן?

תשובה ופתרון

התשובה: 4

מעל ערך שנמצא סטיית תקן אחת וחצי מעל הממוצע נמצאים בערך 7 אחוזים (לפי התרשים 6.7 אחוזים), ולכן 80 נמצא סטיית תקן אחת וחצי מעל הממוצע. לכן 1.5 · σ = 80 − 74 = 6 , ומכאן σ = 4 .

ציון תקן

לדוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4.

מהו ציון התקן של הציון 72?

תשובה ופתרון

התשובה: −0.5

לפי הנוסחה z = (72 − 74) : 4 = −0.5 .

השוואה בין שתי אוכלוסיות

לדוגמה: בעיר הצפונית הגובה של המבוגרים מתפלג נורמלית עם ממוצע 182 ס״מ וסטיית תקן 10 ס״מ, ובעיר הדרומית עם ממוצע 164 ס״מ וסטיית תקן 4 ס״מ. הגובה של נועה, מהעיר הצפונית, הוא 169 ס״מ, והגובה של מאיה, מהעיר הדרומית, הוא 168 ס״מ. של מי הגובה גבוה יותר ביחס לעיר המגורים?

תשובה ופתרון

התשובה: מאיה

ציון התקן של נועה: z = (169 − 182) : 10 = −1.3 . ציון התקן של מאיה: z = (168 − 164) : 4 = 1 . ציון התקן של מאיה גבוה יותר, ולכן התשובה היא מאיה.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: טבלת ההתפלגות הנורמלית: ערכים שאינם על התרשים · הסבר מילולי של משמעות סטיית התקן · חישובים בהתפלגויות שאינן נורמליות.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←