# התפלגות נורמלית לכיתה י״ב · 3 יח״ל

> התפלגות נורמלית לכיתה י״ב · 3 יח״ל: זיהוי העקומה הנורמלית, קריאת תרשים ההתפלגות, הערך מתוך האחוז ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא התפלגות נורמלית בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים זיהוי העקומה הנורמלית, קריאת תרשים ההתפלגות, אחוז הקבוצה בעלת התכונה, הערך מתוך האחוז, סימטריה, ממוצע וסטיית תקן מתוך אחוזים, ציון תקן והשוואה בין שתי אוכלוסיות.

בהתפלגות נורמלית העקומה היא פעמון סימטרי סביב הממוצע: השיא שלה מעל הממוצע, והממוצע, החציון והשכיח שווים. ככל שסטיית התקן גדולה יותר, הפעמון רחב ונמוך יותר והערכים מפוזרים יותר. עקומה עם שני שיאים, עם ראש שטוח או עם זנב ארוך לצד אחד אינה נורמלית.

בתרשים ההתפלגות מסמנים על הציר את הממוצע ואת הערכים שרחוקים ממנו בכל פעם בחצי סטיית תקן, לשני הצדדים. בכל רצועה שבין שני סימונים סמוכים רשום, לפי התרשים, החלק מהערכים שנמצא בה באחוזים: תשעה עשר נקודה אחת אחוזים בכל אחת משתי הרצועות שליד הממוצע, ואחריהן חמישה עשר, תשעה נקודה שתיים, ארבעה נקודה ארבע, אחד נקודה שבע ואפס נקודה חמש. מחברים רצועות כדי למצוא את החלק שמעל ערך, מתחתיו או בין שני ערכים, ומתוך חלק נתון מוצאים את הערך, את הממוצע או את סטיית התקן.

ציון התקן של ערך הוא ההפרש בינו לבין הממוצע, חלקי סטיית התקן. הוא אומר כמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון: ציון חיובי הוא ערך מעל הממוצע, וציון שלילי הוא ערך מתחתיו. בעזרת ציוני תקן משווים ערכים משתי אוכלוסיות נפרדות: ערך עם ציון תקן גבוה יותר נמצא במקום גבוה יותר ביחס לאוכלוסייה שלו.

**טיפ:** בכל שאלה מסמנים קודם על התרשים את האזור המבוקש, ורק אחר כך מחברים את הרצועות שבו.

## מה לומדים בנושא

### זיהוי העקומה הנורמלית

- דוגמה: לפניכם ארבע עקומות. עקומה א: (עקומה א: עקומה שעולה אל ראש ארוך ושטוח ואחר כך יורדת) עקומה ב: (עקומה ב: עקומה עם שני שיאים ושקע ביניהם) עקומה ג: (עקומה ג: עקומה שהשיא שלה קרוב לצד שמאל, והיא יורדת לאט לכיוון ימין) עקומה ד: (עקומה ד: עקומה עם שיא מעוגל אחד באמצע, שיורדת בהדרגה לכיוון שני הקצוות) איזו עקומה מתארת התפלגות נורמלית?
- אפשרויות: עקומה א · עקומה ב · עקומה ג · עקומה ד
- תשובה: עקומה ד
- פתרון: לעקומה ד יש שיא מעוגל אחד באמצע, והיא סימטרית סביבו, ולכן היא מתארת התפלגות נורמלית. לאחת העקומות האחרות יש ראש שטוח, לאחת שני שיאים, ואחת אינה סימטרית.

### קריאת תרשים ההתפלגות

- דוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. בתרשים רשום החלק מהערכים, באחוזים, בכל רצועה של חצי סטיית תקן. (תרשים ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. מתחת ל־62 יש 0.1 אחוזים; בין 62 לבין 64 יש 0.5 אחוזים; בין 64 לבין 66 יש 1.7 אחוזים; בין 66 לבין 68 יש 4.4 אחוזים; בין 68 לבין 70 יש 9.2 אחוזים; בין 70 לבין 72 יש 15 אחוזים; בין 72 לבין 74 יש 19.1 אחוזים; בין 74 לבין 76 יש 19.1 אחוזים; בין 76 לבין 78 יש 15 אחוזים; בין 78 לבין 80 יש 9.2 אחוזים; בין 80 לבין 82 יש 4.4 אחוזים; בין 82 לבין 84 יש 1.7 אחוזים; בין 84 לבין 86 יש 0.5 אחוזים; מעל 86 יש 0.1 אחוזים.) מהו הערך שנמצא שתיים וחצי סטיות תקן מעל הממוצע?
- תשובה: 84
- פתרון: כל סימון על הציר רחוק חצי סטיית תקן מהסימון שלידו. הערך המבוקש הוא 74 + 2.5 · 4 = 84 , כלומר 84.

### אחוז הקבוצה בעלת התכונה

- דוגמה: השכר לשעה של העובדים בחברה מתפלג נורמלית עם ממוצע 45 ₪ וסטיית תקן 4 ₪. (תרשים ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 45 וסטיית תקן 4. מתחת ל־33 יש 0.1 אחוזים; בין 33 לבין 35 יש 0.5 אחוזים; בין 35 לבין 37 יש 1.7 אחוזים; בין 37 לבין 39 יש 4.4 אחוזים; בין 39 לבין 41 יש 9.2 אחוזים; בין 41 לבין 43 יש 15 אחוזים; בין 43 לבין 45 יש 19.1 אחוזים; בין 45 לבין 47 יש 19.1 אחוזים; בין 47 לבין 49 יש 15 אחוזים; בין 49 לבין 51 יש 9.2 אחוזים; בין 51 לבין 53 יש 4.4 אחוזים; בין 53 לבין 55 יש 1.7 אחוזים; בין 55 לבין 57 יש 0.5 אחוזים; מעל 57 יש 0.1 אחוזים.) לכמה אחוזים מהעובדים יש שכר לשעה של פחות מ־37 ₪?
- תשובה: 2.3%
- פתרון: לפי התרשים, מתחת ל־37 נמצאים הזנב 0.1 והרצועות 0.5 ו־1.7, ובסך הכול 2.3 אחוזים.

### הערך מתוך האחוז

- דוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. (תרשים ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. מתחת ל־62 יש 0.1 אחוזים; בין 62 לבין 64 יש 0.5 אחוזים; בין 64 לבין 66 יש 1.7 אחוזים; בין 66 לבין 68 יש 4.4 אחוזים; בין 68 לבין 70 יש 9.2 אחוזים; בין 70 לבין 72 יש 15 אחוזים; בין 72 לבין 74 יש 19.1 אחוזים; בין 74 לבין 76 יש 19.1 אחוזים; בין 76 לבין 78 יש 15 אחוזים; בין 78 לבין 80 יש 9.2 אחוזים; בין 80 לבין 82 יש 4.4 אחוזים; בין 82 לבין 84 יש 1.7 אחוזים; בין 84 לבין 86 יש 0.5 אחוזים; מעל 86 יש 0.1 אחוזים.) בערך ל־98 אחוזים מהתלמידים יש ציון של יותר מערך מסוים. מהו הערך הזה?
- תשובה: 66
- פתרון: מעל ערך שנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע נמצאים בערך 98 אחוזים (לפי התרשים 97.7 אחוזים). לכן הערך הוא 74 − 2 · 4 = 66 , כלומר 66.

### סימטריה

- דוגמה: השכר לשעה של העובדים בחברה מתפלג נורמלית, והשכיח שלו הוא 59 ₪. לשליש מהעובדים יש שכר לשעה של יותר מ־60 ₪. לאיזה חלק מהעובדים יש שכר לשעה בין 58 ₪ לבין 60 ₪?
- תשובה: 1/3
- פתרון: הערכים 58 ₪ ו־60 ₪ רחוקים באותו מרחק, 1 ₪, מהשכיח 59 ₪, שהוא גם הממוצע, ולכן מתחת ל־58 ₪ יש אותו חלק כמו מעל 60 ₪. מעל 60 ₪ יש שליש ומתחת ל־58 ₪ יש שליש, ולכן ביניהם נשאר שליש: 1/3 .

### ממוצע וסטיית תקן מתוך אחוזים

- דוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74. ידוע כי בערך ל־7 אחוזים מהתלמידים יש ציון של יותר מ־80. מהי סטיית התקן?
- תשובה: 4
- פתרון: מעל ערך שנמצא סטיית תקן אחת וחצי מעל הממוצע נמצאים בערך 7 אחוזים (לפי התרשים 6.7 אחוזים), ולכן 80 נמצא סטיית תקן אחת וחצי מעל הממוצע. לכן 1.5 · σ = 80 − 74 = 6 , ומכאן σ = 4 .

### ציון תקן

- דוגמה: הציון של התלמידים במבחן ארצי מתפלג נורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. (תרשים ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 74 וסטיית תקן 4. מתחת ל־62 יש 0.1 אחוזים; בין 62 לבין 64 יש 0.5 אחוזים; בין 64 לבין 66 יש 1.7 אחוזים; בין 66 לבין 68 יש 4.4 אחוזים; בין 68 לבין 70 יש 9.2 אחוזים; בין 70 לבין 72 יש 15 אחוזים; בין 72 לבין 74 יש 19.1 אחוזים; בין 74 לבין 76 יש 19.1 אחוזים; בין 76 לבין 78 יש 15 אחוזים; בין 78 לבין 80 יש 9.2 אחוזים; בין 80 לבין 82 יש 4.4 אחוזים; בין 82 לבין 84 יש 1.7 אחוזים; בין 84 לבין 86 יש 0.5 אחוזים; מעל 86 יש 0.1 אחוזים.) מהו ציון התקן של הציון 72?
- תשובה: −0.5
- פתרון: לפי הנוסחה z = (72 − 74) : 4 = −0.5 .

### השוואה בין שתי אוכלוסיות

- דוגמה: בעיר הצפונית הגובה של המבוגרים מתפלג נורמלית עם ממוצע 182 ס״מ וסטיית תקן 10 ס״מ, ובעיר הדרומית עם ממוצע 164 ס״מ וסטיית תקן 4 ס״מ. הגובה של נועה, מהעיר הצפונית, הוא 169 ס״מ, והגובה של מאיה, מהעיר הדרומית, הוא 168 ס״מ. של מי הגובה גבוה יותר ביחס לעיר המגורים?
- אפשרויות: נועה · מאיה
- תשובה: מאיה
- פתרון: ציון התקן של נועה: z = (169 − 182) : 10 = −1.3 . ציון התקן של מאיה: z = (168 − 164) : 4 = 1 . ציון התקן של מאיה גבוה יותר, ולכן התשובה היא מאיה.

## עוד לא באתר

- טבלת ההתפלגות הנורמלית: ערכים שאינם על התרשים
- הסבר מילולי של משמעות סטיית התקן
- חישובים בהתפלגויות שאינן נורמליות

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 3 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-3u/)